Question

17．已知函數f（x）=aln（x+1）+$\frac{1}{2}$x²-x，其中a為非零實數．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若y=f（x）有兩個極值點x₁，x₂，且x₁＜x₂，求證：$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{1}}$＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間即可；
（2）所證問題轉化為（1+x₂）ln（x₂+1）-$\frac{1}{2}$x₂＞0，令g（x）=（1+x）ln（x+1）-$\frac{1}{2}$x，x∈（0，1），根據函數的單調性證明即可．

解答 （1）解：f′（x）=$\frac{{x}^{2}+（a-1）}{x+1}$，x＞1，
當a-1≥0即a≥1時f′（x）≥0，
∴f（x）在（-1，+∞）遞增，
當0＜a＜1時，由f′（x）=0，
∴x₁=-$\sqrt{1-a}$＞-1，x₂=$\sqrt{1-a}$，
∴f（x）在（-1，-$\sqrt{1-a}$）遞增，在（-$\sqrt{1-a}$，$\sqrt{1-a}$）遞減，在（$\sqrt{1-a}$，+∞）遞增，
當a＜0時，∵x₁＜-1，∴f（x）在（-1，$\sqrt{1-a}$）遞減，在（$\sqrt{1-a}$，+∞）遞增；
（2）證明：∵0＜a＜1且x₁=-$\sqrt{1-a}$，x₂=$\sqrt{1-a}$，
∴x₁+x₂=0，x₁x₂=a-1且x₂∈（0，1），
$\frac{f{（x}_{2}）}{{x}_{1}}$＜$\frac{1}{2}$?$\frac{f{（x}_{2}）}{{-x}_{2}}$＜$\frac{1}{2}$?f（x₂）+$\frac{1}{2}$x₂＞0
?aln（x₂+1）+$\frac{1}{2}$${{x}_{2}}^{2}$-$\frac{1}{2}$x₂＞0
?（1+x₂）ln（x₂+1）-$\frac{1}{2}$x₂＞0，
令g（x）=（1+x）ln（x+1）-$\frac{1}{2}$x，x∈（0，1），
∵g′（x）=ln（x+1）+$\frac{1}{2}$＞0，
∴g（x）在（0，1）遞增，
∴g（x）＞g（0）=0，
∴命題得證．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．