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12.已知f(x)={x2+axx0lnx+1x0,F(xiàn)(x)=2f(x)-x有2個零點,則實數(shù)a的取值范圍是(-∞,12].

分析 討論x>0時,函數(shù)F(x)的導數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值和最值,確定零點的個數(shù)為1,可得x≤0時,F(xiàn)(x)=2x2+(2a-1)x只有一個零點,解方程可得x=0,則2a-1≤0,即可得到所求a的范圍.

解答 解:當x>0時,F(xiàn)(x)=2f(x)-x=2ln(x+1)-x,
導數(shù)為F′(x)=2x+1-1=1x1+x,
當0<x<1時,F(xiàn)′(x)>0,F(xiàn)(x)遞增;
當x>1時,F(xiàn)′(x)<0,F(xiàn)(x)遞減.
可得x=1處F(x)取得極大值,且為最大值2ln2-1>0,
由F(x)=2ln(x+1)-x過原點,則x>0時,F(xiàn)(x)只有一個零點,
可得x≤0時,F(xiàn)(x)=2f(x)-x=2x2+(2a-1)x只有一個零點,
x=0顯然成立;則2x+2a-1=0的根為0或正數(shù).
則2a-1≤0,解得a≤12
故答案為:(-∞,12].

點評 本題考查分段函數(shù)的應用,函數(shù)的零點個數(shù)問題,注意運用分類討論的思想方法和轉化思想,考查化簡運算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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