(2013•寶山區(qū)二模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a1=a(a≠3),an+1=Sn+3n,設(shè)bn=Sn-3n,n∈N*
(1)求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(2)若an+1≥an,n∈N*,求實(shí)數(shù)a的最小值;
(3)當(dāng)a=4時(shí),給出一個(gè)新數(shù)列{en},其中en=
3 , n=1
bn , n≥2
,設(shè)這個(gè)新數(shù)列的前n項(xiàng)和為Cn,若Cn可以寫成tp(t,p∈N*且t>1,p>1)的形式,則稱Cn為“指數(shù)型和”.問(wèn){Cn}中的項(xiàng)是否存在“指數(shù)型和”,若存在,求出所有“指數(shù)型和”;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)依題意,可求得Sn+1=2Sn+3n,當(dāng)a≠3時(shí),
bn+1
bn
=2,利用等比數(shù)列的定義即可證得數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(2)由(1)可得Sn-3n=(a-3)×2n-1,an=Sn-Sn-1,n≥2,n∈N*,從而可求得an=
a
3n-1+(a-3)×2n-2
n=1
n≥2
,由an+1≥an,可求得a≥-9,從而可求得實(shí)數(shù)a的最小值;
(3)由(1)當(dāng)a=4時(shí),bn=2n-1,當(dāng)n≥2時(shí),Cn=3+2+4+…+2n=2n+1+1,C1=3,可證得對(duì)正整數(shù)n都有Cn=2n+1,依題意由tp=2n+1,tp-1=2n,(t,p∈N*且t>1,p>1),t只能是不小于3的奇數(shù).分①當(dāng)p為偶數(shù)時(shí)與②當(dāng)p為奇數(shù)討論即可得到答案.
解答:解:(1)an+1=Sn+3n⇒Sn+1=2Sn+3n,bn=Sn-3n,n∈N*,
當(dāng)a≠3時(shí),
bn+1
bn
=
Sn+1-3n+1
Sn-3n
=
2Sn+3n-3n+1
Sn-3n
=2,
所以{bn}為等比數(shù)列.b1=S1-3=a-3,bn=(a-3)×2n-1
(2)由(1)可得Sn-3n=(a-3)×2n-1,
an=Sn-Sn-1,n≥2,n∈N*,
∴an=
a
3n-1+(a-3)×2n-2
n=1
n≥2
,
∵an+1≥an,
∴a≥-9,又a≠3,
所以a的最小值為-9;
(3)由(1)當(dāng)a=4時(shí),bn=2n-1,
當(dāng)n≥2時(shí),Cn=3+2+4+…+2n=2n+1+1,C1=3,
所以對(duì)正整數(shù)n都有Cn=2n+1.
由tp=2n+1,tp-1=2n,(t,p∈N*且t>1,p>1),t只能是不小于3的奇數(shù).
①當(dāng)p為偶數(shù)時(shí),tp-1=(t
p
2
+1)(t
p
2
-1)=2n,
因?yàn)閠p+1和tp-1都是大于1的正整數(shù),
所以存在正整數(shù)g,h,使得tp+1=2g,t
p
2
-1=2h,2g-2h=2,2h(2g-h-1)=2,
所以2h=2且2g-h-1=1⇒h=1,g=2,相應(yīng)的n=3,即有C3=32,C3為“指數(shù)型和”;
②當(dāng)p為奇數(shù)時(shí),tp-1=(t-1)(1+t+t2+…+tp-1),由于1+t+t2+…+tp-1是p個(gè)奇數(shù)之和,仍為奇數(shù),又t-1為正偶數(shù),
所以(t-1)(1+t+t2+…+tp-1)=2n不成立,此時(shí)沒(méi)有“指數(shù)型和”.
點(diǎn)評(píng):本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,考查數(shù)列求和,突出邏輯思維與創(chuàng)新思維、綜合分析、運(yùn)算能力的考查,屬于難題.
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2
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3
5
,則tan(a-
π
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(3)求k1+k2+…+kn的值.

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