Question

已知函數(shù) f（x）=

1

3

x3-(2a+1)x2+3a（a+2）x+1，a∈R．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）在[0，4]上的最大值和最小值；
（3）當(dāng)函數(shù)y=f′（x）在（0，4）上有唯一的零點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程，即可得到切線方程；
（2）求出a=-1的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間和極值，以及端點(diǎn)的函數(shù)值，即可得到最值；
（3）求出導(dǎo)數(shù)，分解因式，討論①當(dāng)x₁=x₂時(shí)，②當(dāng)x₁＞x₂時(shí)，③當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)與區(qū)間的關(guān)系，即可得到a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=

1

3

x3-x2+1，
∴f（3）=1，∵f′（x）=x²-2x，
曲線在點(diǎn)（3，1）處的切線的斜率k=f′（3）=3
∴所求的切線方程為y-1=3（x-3），即y=3x-8，
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)f(x)=

1

3

x3+x2-3x+1，
∵f′（x）=x²+2x-3，令f′（x）=0得x₁=1，x₂=-3，
x₂∉[0，4]，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＜0，
即函數(shù)y=f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1，4）時(shí)，f′（x）＞0，即函數(shù)y=f（x）在（1，4）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)y=f（x）在[0，4]上有最小值，f(x)最小值=f(1)=-

2

3

，
又f(0)=1，f(4)=26

1

3

；
∴當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)y=f（x）在[0，4]上的最大值和最小值分別為26

1

3

，-

2

3

．
（3）∵f'（x）=x²-2（2a+1）x+3a（a+2）=（x-3a）（x-a-2）
∴x₁=3a，x₂=a+2，
①當(dāng)x₁=x₂時(shí)，3a=a+2，解得a=1，這時(shí)x₁=x₂=3，
函數(shù)y=f′（x）在（0，4）上有唯一的零點(diǎn)，故a=1為所求；
②當(dāng)x₁＞x₂時(shí)，即3a＞a+2⇒a＞1，這時(shí)x₁＞x₂＞3，
又函數(shù)y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零點(diǎn)，
∴

3＜x2＜4 x1≥4.

⇒

3＜a+2＜4 3a≥4.

⇒

4

3

≤a＜2，
③當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，即a＜1，這時(shí)x₁＜x₂＜3
又函數(shù)y=f′（x）在（0，4）上有唯一的零點(diǎn)，
∴

x1≤0 0＜x2＜3.

⇒

3a≤0 0＜a+2＜3.

⇒-2＜a≤0，
綜上得，當(dāng)函數(shù)y=f′（x）在（0，4）上有唯一的零點(diǎn)時(shí)，
a的取值范圍是：-2＜a≤0或

4

3

≤a＜2或a=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、求極值和最值，考查函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，考查分類討論的思想方法和運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．