Question

14．過(guò)點(diǎn)M（-2b，0）做橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的兩條切線(xiàn)，分別與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且MA⊥MB，
（1）求橢圓離心率；
（2）若橢圓的右焦點(diǎn)為F，四邊形MAFB的面積為2+$\sqrt{2}$，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）利用垂直關(guān)系，求出直線(xiàn)的斜率，寫(xiě)出直線(xiàn)方程與橢圓聯(lián)立，利用相切關(guān)系推出橢圓的離心率．
（2）表示出四邊形的面積，然后轉(zhuǎn)化求解b，即可得到橢圓的方程．

解答 解：（1）因?yàn)镸A⊥MB所以k_AM•k_AN=-1，
由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知k_AM=1，k_AN=-1，…（2分）
設(shè)直線(xiàn)MA的方程 y=x+2b，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=x+2b\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}\right.$，消去y可得：（a²+b²）x²+4ba²x+3a²b²=0…（4分）
△=16b²a⁴-12a²b²（a²+b²）=0，
a²=3b²
$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$…（6分）
（2）${S_{四邊形MAFB}}=2×\frac{1}{2}×|{MF}|×|{y_A}|$…（7分）
由（1）可知a²=3b²
則$2+\sqrt{2}=（2b+\sqrt{2}b）{y_A}$，有${y_A}=\frac{1}={x_A}+2b$
則${x_A}=\frac{1}-2b$…（9分）
由（1）可知a²=3b²，則x²+3y²-3b²=0，
${x_A}^2+3{y_A}^2-3{b^2}=0$，有 b⁴-4b²+4=0…（10分）
所以b²=2，$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)與直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．