已知橢圓O的中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，右頂點(diǎn)A（2，0）到右焦點(diǎn)的距離與它到右準(zhǔn)線的距離之比為f（x）．不過A點(diǎn)的動(dòng)直線y=
1
2
x+m交橢圓O于P，Q兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）證明P，Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方和為定值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）利用橢圓的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合得出得a=2，e=
3
2
，進(jìn)而可求得方程；
（2）聯(lián)立方程組，消去y，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可解得結(jié)論．
解答： 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
由題意得a=2，e=
3
2
．
∴c=
3
，b=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+y2=1．
（2）證明：設(shè)點(diǎn)P(
x
 
1
，y1)，Q(
x
 
2
，y2)
將y=
1
2
x+m帶入橢圓，化簡(jiǎn)得：x2+2mx+2（m2-1）=0
∴x1+x2=-2m，x1x2=2(m2-1)，
∴
x
2
1
+
x
2
2
=(x1+x2)2-2x1x2=4，
∴P，Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方和為定值4．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a+3i
i
=b-2i（a，b∈R），其中i為虛數(shù)單位，則a+b=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={a，a2}，B={-1，2}，若A∩B={-1}，則A∪B=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合S={x||x|＜5}，T={x|x＜3或x＞7}，則S∩T=（　�。�
A、{x|-7＜x＜-5}
B、{x|3＜x＜5}
C、{x|-5＜x＜3}
D、{x|-7＜x＜5}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2-2x-a+
5
2
，若存在x0∈[1，4]，使f（x0）=0有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A、（-∞，2）
B、（0，
1
2
）
C、[
11
6
，+∞）
D、（-∞，
11
6
]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，且a1＞0，數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列，且logxan-bn=logxa1-b1，求x．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合M={-1，0，2}，N={x|
x-2
x+1
≤0}，則M∩N=（　�。�
A、{-1，0，2}
B、{0，1，2}
C、{0，2}
D、∅

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，右焦點(diǎn)為F（1，0）．
（1）求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）若過點(diǎn)F且傾斜角為
3π
4
的直線與此橢圓交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=logax+3過點(diǎn)（4，5），則方程f（x）-f′（x）=2的解所在的區(qū)間是
 
．

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