Question

（1）一個(gè)矩形的面積為8，如果此矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為y，一邊長(zhǎng)為x，試把y表示成x的函數(shù)．
（2）證明：函數(shù)f（x）=x²+1是偶函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）如圖，先求出另一邊，再用勾股定理建立等式，表示出y．
（2）用定義證明即可．由函數(shù)的解析知，可通過(guò)驗(yàn)證（-x）=f（x）證明函數(shù)是偶函數(shù)；用增函數(shù)的定義證明函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)．

解答：解：（1）如圖，x

y2-x2

=8
則：y2=x2+

8

x2

y=

x2+ 8 x2

（x＞0）
（2）證明：∵f（-x）=（-x）²+1=x²+1=f（x），∴函數(shù)f（x）=x²+1是偶函數(shù)，
作取x₁，x₂∈[0，+∞），令x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=x₁²-x₂²=（x₁-x₂）（x₁+x₂）
∵x₁，x₂∈[0，+∞），令x₁＜x₂
∴x₁-x₂0
∴f（x₁）-f（x₂）=x₁²-x₂²=（x₁-x₂）（x₁+x₂）＜0
故函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)．
綜上，函數(shù)f（x）=x²+1是偶函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的證明與函數(shù)單調(diào)性的證明，以及根據(jù)幾何圖形建立函數(shù)關(guān)系，求解本題關(guān)鍵是掌握函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的證明方法．