Question

【題目】如圖，平行四邊形中，，，為邊的中點(diǎn)，沿將折起使得平面平面.

（1）求證：平面平面；

（2）求四棱錐的體積；

（3）求折后直線與平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）

【解析】

（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，證得平面，由此證得平面平面.

（2）的中點(diǎn)，根據(jù)等比三角形的性質(zhì)得到由面面垂直的性質(zhì)定理得平面，也即是四棱錐的高.進(jìn)而求得四棱錐的體積.

（3）以為空間坐標(biāo)系原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量和平面的法向量，計(jì)算出直線與平面所成的角的正弦值.

（1）證明：∵平面平面，平面平面，

由題易知，且平面.

∴平面，而平面，

∴平面平面.

（2）由已知有是正三角形，取的中點(diǎn)，則，又平面平面于，

則平面，且，

易求得，

∴.

（3）作，由（1）知可如圖建系，

則，，，

，

又，得，

，.

設(shè)平面的法向量，則

，不妨取.

設(shè)折后直線與平面所成的角為，則.