Question

（2013•房山區(qū)二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，且過(guò)點(diǎn)A(

2

， 1)．直線y=

2

2

x+m交橢圓C于B，D（不與點(diǎn)A重合）兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）△ABD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率及a²=b²+c²即可得出；
（2）把直線BD的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式即可得到|BD|，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得到點(diǎn)A到直線BD的距離，利用三角形的面積公式得到△ABD的面積，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出其最大值．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得

c a = 2 2 2 a2 + 1 b2 +1 a2=b2+c2

，解得

a2=4 b2=c2=2

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）設(shè)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．
由

y= 2 2 x+m x2 4 + y2 2 =1

消去y得到x2+

2

mx+m2-2=0，
∵直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴△=8-2m²＞0，解得-2＜m＜2．
∴x1+x2=-

2

m，x1x2=m2-2．
∴|BD|=

[1+( 2 2 )2][(x1+x2)2-4x1x2]

=

3 2 [2m2-4(m2-2)]

=

3(4-m2)

．
點(diǎn)A到直線BD的距離d=

|2-2+2m|

6

=

|2m|

6

．
∴S△ABD=

1

2

|BD|d=

1

2

×

3(4-m2)

×

|2m|

6

=

2

2

m2(4-m2)

≤

2

2

×

m2+(4-m2)

2

=

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)m=±

2

∈（-2，2）時(shí)取等號(hào)．
∴當(dāng)m=±

2

時(shí)，△ABD的面積取得最大值

2

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題的解題模式、根與系數(shù)的關(guān)系、判別式、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積公式、基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．