Question

如表所示，將數以斜線作如下分類：（1），（2，3），（4，6，5），（8，12，10，7），（16，24，20，14，9），…，并順次稱其為第1類，第2類，第3類，第4類，第5類，…，

1	3	5	7	9	…
2	6	10	14	18	…
4	12	20	28	36	…
8	24	40	56	72	…
16	48	80	112	144	…
…	…	…	…	…	…

（1）第6類中的第2項是________；
（2）第n類中n個數的和是：________．

Answer 1

解：由題意數列可以轉化為：
1
2 3
4 6 5
8 12 10 7
16 24 20 14 9
32 48 40 28 19 11
…
可知每一列都是等比數列，每一行最后一個數是等差數列，公差為2，
所以第6類中的第2項是：3×2⁴=48．
第n個類中n個數為：S_n=1×2 ^n-1+3×2^n-2+5×2 ^n-3+…+（2n-1）•2 ⁰…①
2S_n=1×2 ⁿ+3×2^n-1+5×2 ^n-2+…+（2n-1）•2 ¹…②，
②-①得，S_n=2 ⁿ+2×2^n-1+2×2 ^n-2+…+2•2 ¹-2n+1
=2 ⁿ+2ⁿ+2 ^n-1+…+2 ²-2n+1
=
=3•2ⁿ-2n-3
故答案為：48，，3•2ⁿ-2n-3．
分析：觀察數列的每一列，得到第一個數列，第2個數列，…都是以2為公比的等比數列，不難求出第6類中的第2項；第n類中n個數表示出后，求出和即可．
點評：本題是中檔題，考查新定義和分析問題解決問題的能力，轉化思想的應用，找出數列的特征是解題的關鍵．