Question

1．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足：S₃=39，且2a₂是3a₁與a₃的等差中項．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，b_n=$\frac{1}{lo{g}_{3}{a}_{n}•lo{g}_{3}{a}_{n+2}}$，T_n=b₁+b₂+…+b_n，問是否存在正整數(shù)n使得T_n$＞\frac{1}{2}$成立？若存在，求出n的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）由題意設(shè)數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公比為q，從而可得a₁（1+q+q²）=39，2•2a₁q=3a₁+a₁q²，從而解得；
（Ⅱ）利用對數(shù)運算化簡可得b_n=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），從而求其前n項和，再解不等式即可．

解答 解：（I）由題意設(shè)數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公比為q，
則由題意可得，
a₁（1+q+q²）=39，
2•2a₁q=3a₁+a₁q²，
解得，q=1，a₁=13或q=3，a₁=3；
故a_n=13或a_n=3ⁿ；
（Ⅱ）∵數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，∴a_n=3ⁿ；
∴b_n=$\frac{1}{lo{g}_{3}{a}_{n}•lo{g}_{3}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{（lo{g}_{3}{3}^{n}）•（lo{g}_{3}{3}^{n+2}）}$
=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）]
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
故T_n$＞\frac{1}{2}$可化為$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）$＞\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$＞0，
故n≥3；
故n的最小值為3．

點評 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用及對數(shù)運算的應(yīng)用，同時考查了裂項求和法的應(yīng)用．