Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+4b²，a，b∈R
（1）若a從集合{0，1，2，3}中任取一個元素，b從集合{0，1，2}中任取一個元素，求方程f（x）=0有兩個不相等實根的概率；
（2）若a從區(qū)間[0，2]中任取一個數(shù)，b從區(qū)間[0，3]中任取一個數(shù)，求方程f（x）=0沒有實根的概率．

Answer 1

分析：（1）為古典概型，只需列舉出所有的基本事件和符合條件的基本事件，作比值即可；
（2）為幾何概型，只要得出兩個區(qū)域的面積，由幾何概型的公式可得．

解答：解：（1）∵a為取集合{0，1，2，3}中任一個元素，b為取集合{0，1，2}中任一個元素，
∴a，b的取值的情況有（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），
（2，0），（2，1），（2，2）（3，0），（3，1），（3，2）．其中第一個數(shù)表示a的取值，
第二個數(shù)表示b的取值，即基本事件總數(shù)為：12．
設(shè)“方程f（x）=0有兩個不相等的實根”為事件A，
當a≥0，b≥0時，方程f（x）=0有兩個不相等實根的充要條件為：a＞2b．
當a＞2b時，a，b取值的情況有（1，0），（2，0），（3，0），（3，1），
即A包含的基本事件數(shù)為：4，
∴方程f（x）=0有兩個不相等實根的概率：p(A)=

4

12

=

1

3

（2）∵a是從區(qū)間[0，2]中任取一個數(shù)，b是從區(qū)間[0，3]中任取一個數(shù)，
則試驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}，
這是一個矩形區(qū)域，其面積S_Ω=2×3=6．
設(shè)“方程f（x）=0沒有實根”為事件B，則事件B所構(gòu)成的區(qū)域為
M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a＜2b}，
它所表示的部分為梯形，其面積S′=6-

1

2

×2×1=5
由幾何概型的概率計算公式可得方程f（x）=0沒有實根的概率：p(B)=

S′

S

=

5

6

點評：本題以一元二次方程的根為載體，考查古典概型和幾何概型，屬基礎(chǔ)題．