Question

2．已知F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，若點P是以F₁F₂為直徑的圓與C右支的-個交點，F(xiàn)₁P交C于另一點Q，且|PQ|=2|QF₁|．則C的漸近線方程為（　�。�

• A． y=±2x
• B． y=±$\frac{1}{2}$x
• C． y=±$\sqrt{2}$x
• D． y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x

Answer 1

分析 由題意可得PF₁⊥PF₂，可設(shè)|QF₁|=t，可得|PQ|=2t，由雙曲線的定義可得|PF₂|=3t-2a，又連接QF₂，可得|QF₂|=t+2a，運用直角三角形的勾股定理，化簡整理計算可得b=2a，運用雙曲線的漸近線方程可得．

解答 解：由題意可得PF₁⊥PF₂，
可設(shè)|QF₁|=t，可得|PQ|=2t，
由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
即有|PF₂|=3t-2a，
又連接QF₂，可得|QF₂|-|QF₁|=2a，
即有|QF₂|=t+2a，
在直角三角形PF₁F₂中，
|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
即為（3t）²+（3t-2a）²=4c²，①
又|PQ|²+|PF₂|²=|QF₂|²，
即有4t²+（3t-2a）²=（t+2a）²，②
由②可得，3t=4a，
代入①，可得16a²+4a²=4c²，
即有c=$\sqrt{5}$a，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=2a，
即有漸近線方程為y=±2x．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程的求法，注意運用定義法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．