Question

用0，1，2，3，4，5，6構成無重復數字的七位數，其中：
（1）能被25整除的數有多少個？
（2）設x，y，z分別表示個位、十位、百位上的數字，滿足x＜y＜z的數有多少個？
（3）偶數必須相鄰的數有多少個？

Answer 1

分析：（1）探究知，后兩位數字是50與25時，這樣的整數能被25整除，分兩類計數求解；
（2）可求出總的七位數字個數，由于x＜y＜z重復計數A₃³次，用總數除之求解；
（3）用綁定法把偶數看作一個元素，求出總的個數再減去0在首位的個數即可．

解答：解：（1）能被25整除的數有兩類后兩位是50時，總的個數是A₅⁵=120，
后兩位是25時，先排首位有4種方法，其它四位有A₄⁴，共有4×A₄⁴=96，
所以能被25整除的數有120+96=216個
（2）0，1，2，3，4，5，6構成無重復數字的七位數有6A₆⁶，
滿足x，y，z分別表示個位、十位、百位上的數字，滿足x＜y＜z的數共有

6 A 6 6

A 3 3

=720個
（3）先把四個偶數放在一起，故有A₄⁴種排法，
再把四個偶數看作一個元素與三個奇數組成四個元素進行排列，有A₄⁴種排法，總的排法有A₄⁴×A₄⁴=576，
由于此種排法會出現0在首位的現象故從總的計數中減去O在首位的排法個數，0在首位時，三個偶數的排法有A₃³種，三個奇數排在個，十，百位也有A₃³方法，故0在首位的排法有A₃³×A₃³=36種
所以偶數必須相鄰的數有576-36=540個

點評：本題考查排列、組合在實際中的應用，解題的關鍵是理解所研究的三個事件，能判斷出能被25整除的法其后兩位是25與50，個位、十位、百位上的數字是一個組合問題無序，幾個數必相鄰要用綁定法，在第三問中易因為忘記排除0在首位的情況導致解題失敗，分析問題時考慮全面是避免此類錯誤的保證．