Question

15．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=-1，|a_n-a_n-1|=2^n-1（n∈N，n≥2），且{a_2n-1}是遞減數(shù)列，{a_2n}是遞增數(shù)列，則a₂₀₁₆=$\frac{{2}^{2016}-1}{3}$．

Answer 1

分析 由|a_n-a_n-1|=2^n-1，（n∈N，n≥2），可得：|a_2n-a_2n-1|=2^2n-1，|a_2n+2-a_2n+1|=2²ⁿ⁺¹，根據(jù)：數(shù)列{a_2n-1}是遞減數(shù)列，且{a_2n}是遞增數(shù)列，可得a_2n-a_2n-1＜a_2n+2-a_2n+1，可得：a_2n-a_2n-1=2^2n-1，同理可得：a_2n+1-a_2n=-2²ⁿ，再利用“累加求和”即可得出．

解答 解：由|a_n-a_n-1|=2^n-1，（n∈N，n≥2），
則|a_2n-a_2n-1|=2^2n-1，|a_2n+2-a_2n+1|=2²ⁿ⁺¹，
∵數(shù)列{a_2n-1}是遞減數(shù)列，且{a_2n}是遞增數(shù)列，
∴a_2n-a_2n-1＜a_2n+2-a_2n+1，
又∵|a_2n-a_2n-1|=2^2n-1＜|a_2n+2-a_2n+1|=2²ⁿ⁺¹，
∴a_2n-a_2n-1＞0，即a_2n-a_2n-1=2^2n-1，
同理可得：a_2n+3-a_2n+2＜a_2n+1-a_2n，
又|a_2n+3-a_2n+2|＞|a_2n+1-a_2n|，
則a_2n+1-a_2n=-2²ⁿ，
當(dāng)數(shù)列{a_n}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，令n=2k（k∈N^*），
∴a₂-a₁=2，a₃-a₂=-2²，a₄-a₃=2³，a₅-a₄=-2⁴，…，a₂₀₁₅-a₂₀₁₄=-2²⁰¹⁴，a₂₀₁₆-a₂₀₁₅=2²⁰¹⁵．
∴a₂₀₁₆-a₁=2-2²+2³-2⁴+…-2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵
=$\frac{2[1-（-2）^{2015}]}{1-（-2）}$=$\frac{2}{3}×（{2}^{2015}+1）$．
∴a₂₀₁₆=$\frac{{2}^{2016}-1}{3}$．

故答案為：$\frac{{2}^{2016}-1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性，累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，不等式的性質(zhì)等，同時(shí)考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)和化歸、分類(lèi)整合等數(shù)學(xué)思想，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．