Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x2+x-（x+1）ln（x+1），判斷f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先求出函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于零，解得函數(shù)的增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于零得函數(shù)的減區(qū)間．

解答： 解：由x+1＞0得x＞-1，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞）．
又f′（x）=x-ln（x+1），
顯然f′（0）=0．
而[f′（x）]′=1-

1

x+1

，當(dāng)-1＜x＜0時，[f′（x）]′＜0；當(dāng)x＞0時，[f′（x）]′＞0．
故f′（x）在（-1，0）上遞減，在（0，+∞）上遞增，結(jié)合f′（0）=0，
所以f′（x）≥f′（0）=0．當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號．
故原函數(shù)在（-1，0），（0，+∞）上都是增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，此題涉及到二次求導(dǎo)，要注意每次求導(dǎo)的目的不同．