Question

如圖：橢圓

x2

49

+

y2

b2

=1（0＜b＜7）與雙曲線x²-

y2

n2

=1有相同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，且∠F₁PF₂=90°，P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則|F₁F₂|的值為（　�。�

A．6

B．8

C．10

D．12

Answer 1

分析：由橢圓和雙曲線的定義得到P點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離的和與差，聯(lián)立方程組分別求出兩個(gè)距離，然后直接由勾股定理求得答案．

解答：解：設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）．
由橢圓

x2

49

+

y2

b2

=1（0＜b＜7），知其半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為7．
由雙曲線x²-

y2

n2

=1，知，其實(shí)半軸長(zhǎng)為1．
不妨設(shè)P為兩曲線在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，
則|PF₁|+|PF₂|=14，|PF₁|-|PF₂|=2．
解得|PF₁|=8，|PF₂|=6．
因?yàn)椤螰₁PF₂=90°，所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=8²+6²=100．
所以|F₁F₂|=10．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題是圓錐曲線的綜合題，考查了橢圓和雙曲線的定義，訓(xùn)練了勾股定理，是中檔題．