Question

若三個非零且互不相等的實數a、b、c滿足

1

a

+

1

b

=

2

c

，則稱a、b、c是調和的；若滿足a+c=2b，則稱a、b、c是等差的．若集合P中元素a、b、c既是調和的，又是等差的，則稱集合P為“好集”．若集合M={x||x|≤2014，x∈Z}，集合P={a，b，c}⊆M．則：
（1）“好集”P中的元素最大值為

 

；
（2）“好集”P的個數為

 

．

Answer 1

考點：元素與集合關系的判斷

專題：計算題,集合

分析：（1）根據“好集”的定義，可解關于a，b，c的方程組，用b把另外兩個元素表示出來，再根據“集合M={x||x|≤2014，x∈Z}，集合P={a，b，c}⊆M”構造出關于b的不等式，求出P中最大的元素．
（2）結合第一問的結果，因為b是整數，可以求出b的最大值，從而確定p的個數．

解答： 解：（1）∵

1

a

+

1

b

=

2

c

，且a+c=2b，
∴（a-b）（a+2b）=0，
∴a=b（舍），或a=-2b，∴c=4b，
令-2014≤4b≤2014，得-503≤b≤503，
∴P中最大元素為4b=4×503=2012；
（2）由（1）知P={-2b，b，4b}
且-503≤b≤503，
∴“好集”P的個數為2×503=1006．
故答案為（1）2012，（2）1006．

點評：這是一道新定義題，關鍵是理解好題意，將問題轉化為方程（組）或不等式問題，則問題迎刃而解．