Question

【題目】【2018江西南康中學(xué)、于都中學(xué)上學(xué)期第四次聯(lián)考】橢圓上動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，且到右焦點(diǎn)距離的最大值為．

（I）求橢圓的方程；

（II）設(shè)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，若直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)（不是上下頂點(diǎn)）．試問(wèn)：直線(xiàn)是否經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（III）在（II）的條件下，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（I）；（II）過(guò)定點(diǎn)；（III） ．

【解析】試題分析：（1）由題意布列關(guān)于a,b的方程組，解之即可;（2）聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，然后借助韋達(dá)定理，將向量的數(shù)量積為零表示出來(lái)，得到方程，進(jìn)而求出定點(diǎn)。(3) 第三問(wèn)的面積則是將拆分成和兩個(gè)三角形面積之和,表達(dá)面積后，利用換元法簡(jiǎn)化表達(dá)式，再利用均值不等式求最值即可.

試題解析：

（1）由已知得：2a=4∴a=2， ， ，b=1， ∴橢圓C的方程為： .

（2）依題意可設(shè)直線(xiàn)（k必存在），，將代入橢圓方程得． ， ，

∵∴，

∴ ，∵點(diǎn)B為橢圓的上頂點(diǎn)，且，∴，

， 或（舍去），，∴直線(xiàn)l 必過(guò)定點(diǎn).

（3）不難得到： ，

，

令，則，

∴（當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）.