Question

（2012•長(zhǎng)春模擬）等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，滿足2S₂=a₂（a₂+1），且a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

2Sn+13

n

，求數(shù)列{b_n}的最小值項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）由2S₂=a₂（a₂+1），利用等差數(shù)列的求和公式及通項(xiàng)公式及a₁=1，可求d，可求通項(xiàng)
（2）根據(jù)（1）可求b_n=

2Sn+13

n

=

n(n+1)+13

n

=

13

n

+n+1，根據(jù)函數(shù)f（x）=x+

13

x

（x＞0）的單調(diào)性可求函數(shù)f（n）的最小值，即可求解

解答：解：（1）由2S₂=a₂（a₂+1），可得2（2a₁+d）=(a1+d)2+(a1+d)
又a₁=1，可得d=1．?dāng)?shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=n（4分）
（2）根據(jù)（1）得Sn=

n(n+1)

2

，b_n=

2Sn+13

n

=

n(n+1)+13

n

=

13

n

+n+1
由于函數(shù)f（x）=x+

13

x

（x＞0）在（0，

13

）上上單調(diào)遞減，在[

13

，+∞）上單調(diào)遞增，
而3＜

13

＜4，且f（3）=3+

13

3

=

22

3

＞f（4）=4+

13

4

=

29

4

所以當(dāng)n=4時(shí)，b_n取得最小值，且最小值為

29

4

+1=

33

4

即數(shù)列{b_n}的最小值項(xiàng)是b4=

33

4

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等差數(shù)列基本量的求取、等差數(shù)列求和公式以及函數(shù)單調(diào)性等有關(guān)知識(shí)的應(yīng)用．