Question

12．已知圓O的圓心為（2，-1），且圓與直線3x+4y-7=0相切．求：
（1）求圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）圓心O關(guān)于直線2x-y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)O′為圓心，半徑不變的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線3x+4y-7=0的距離即為圓的半徑，根據(jù)圓心坐標(biāo)和求出的半徑寫出圓的方程即可；
（2）設(shè)出（2，-1）關(guān)于直線2x-y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)O′為：（a，b），由兩點(diǎn)中點(diǎn)在直線上，斜率之積等于-1聯(lián)立方程組求出所求圓的圓心坐標(biāo)，即可求出結(jié)論．

解答 解：（1）由點(diǎn)（2，-1）到直線3x+4y-7=0的距離d=$\frac{|6-4-7|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=1$，
得圓的半徑r=d=1，
則所求的圓的方程為（x-2）²+（y+1）²=1；
（2）設(shè)（2，-1）關(guān)于直線2x-y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)O′為：（a，b），
則$\left\{\begin{array}{l}{2×\frac{a+2}{2}-\frac{b-1}{2}+1=0}\\{\frac{b+1}{a-2}=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得a=-$\frac{14}{5}$，b=$\frac{7}{5}$，即O′（-$\frac{14}{5}$，$\frac{7}{5}$），r=1，
則所求的圓的方程為（x+$\frac{14}{5}$）²+（y-$\frac{7}{5}$）²=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及圓的切線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)求值，是一道基礎(chǔ)題．