Question

14．已知|${\overrightarrow a}$|=2，|${\overrightarrow b}$|=3，（2$\overrightarrow a$-3$\overrightarrow b$）•（2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）=13．
（1）求$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}$|；
（2）求向量$\overrightarrow a$在$\overrightarrow a-\overrightarrow b$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的值，從而可以求出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}$，進(jìn)而求出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$的值；
（2）可設(shè)向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$的夾角為θ，從而由一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上投影的定義即可求出$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$方向上的投影為$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$，這樣由（1）及條件中$|\overrightarrow{a}|=2$即可求出該投影的值．

解答 解：（1）根據(jù)條件：
$（2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow）•（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$=$4{\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow-3{\overrightarrow}^{2}$
=$16-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow-27$
=13；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-6$；
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$=4+12+9=25；
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=5$；
（2）設(shè)向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$的夾角為θ，則：向量$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$方向上的投影為：
$|\overrightarrow{a}|cosθ=|\overrightarrow{a}|•\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}=\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$=$\frac{4+6}{5}=2$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，以及要求$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$而求$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}$的方法，一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影的定義及計(jì)算公式，向量夾角的概念，以及向量夾角的余弦公式．