Question

2．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=B₁B，D，E分別是棱BC，BB₁的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱B₁C₁上，且B₁F=$\frac{1}{4}$B₁C₁．
求證：
（1）EF∥面ADC₁；
（2）面ACE⊥面ADC₁．

Answer 1

分析 （1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，過(guò)D作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明EF∥面ADC₁．
（2）求出平面ACE的法向量，利用向量法能證明面ACE⊥面ADC₁．

解答 證明：（1以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，過(guò)D作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)BC=B₁B=4，則E（0，-2，2），F(xiàn)（0，-1，4），A（2$\sqrt{3}$，0，0），D（0，0，0），C₁（0，2，4），
$\overrightarrow{EF}$=（0，1，2），$\overrightarrow{DA}$=（2$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，2，4）
設(shè)平面ADC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=2\sqrt{3}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=2y+4z=0}\end{array}\right.$，取y=2，得$\overrightarrow{n}$=（0，2，-1），
∵$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}$=0+2-2=0，EF?平面ADC₁，
∴EF∥面ADC₁．
（2）C（0，2，0），$\overrightarrow{AC}$=（-2$\sqrt{3}$，2，0），$\overrightarrow{AE}$=（-2$\sqrt{3}$，-2，2），
設(shè)平面ACE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=-2\sqrt{3}a+2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=-2\sqrt{3}a-2b+2c=0}\end{array}\right.$，
取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$=0+2$\sqrt{3}-2\sqrt{3}$=0，
∴面ACE⊥面ADC₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，熟練掌握空間直線與平面關(guān)系的判定，性質(zhì)及幾何特征是解答的關(guān)鍵．