【題目】已知公差不為零的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍.

（3）設數(shù)列的前n項和為，求證：對任意正整數(shù)n，都有成立.

【答案】（1）；（2）；（3）看解析.

【解析】

（1）設等差數(shù)列的公差為，由已知，求出，即可得數(shù)列的通項公式；

（2）由（1）可得，，利用錯位相減法即可得出，代入不等式對一切恒成立，對分類討論即可得出的取值范圍；

（3）當時，結(jié)論顯然成立；當時，，化簡證明即可.

（1）已知等差數(shù)列中，，設公差為，由已知，

則，所以，

得的通項公式為：

即：.

（2）由（1）可得，，

則

兩式相減得：

解得：.

所以不等式化為對一切恒成立，

若為偶數(shù)，則，即；

若為奇數(shù)，則，即；

綜上可得：.

（3）證明：當時，結(jié)論顯然成立；

當時，由（2）知，

.

所以，對任意正整數(shù)n，都有成立.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：1（a＞b＞0）的離心率e，且點P（，1）在橢圓C上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若橢圓C的左焦點為F，右頂點為A，點M（s，t）（t＞0）是橢圓C上的動點，直線AM與y軸交于點D，點E是y軸上一點，EF⊥DF，EA與橢圓C交于點G，若△AMG的面積為2，求直線AM的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】奇函數(shù)f（x）在R上存在導數(shù)，當x＜0時，f（x），則使得（x2﹣1）f（x）＜0成立的x的取值范圍為（ ）

A.（﹣1，0）∪（0，1）B.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）

C.（﹣1，0）∪（1，+∞）D.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年6月25日，《固體廢物污染環(huán)境防治法（修訂草案）》初次提請全國人大常委會審議，草案對“生活垃圾污染環(huán)境的防治”進行了專章規(guī)定．草案提出，國家推行生活垃圾分類制度．為了了解人民群眾對垃圾分類的認識，某市環(huán)保部門對該市市民進行了一次垃圾分類網(wǎng)絡知識問卷調(diào)查，每一位市民僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如表所示：

得分

頻數(shù)

25

150

200

250

225

100

50

（1）由頻數(shù)分布表可以認為，此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，近似為這1000人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表），請利用正態(tài)分布的知識求；

（2）在（1）的條件下，市環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：

①得分不低于 “的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費；

②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：

獲贈的隨機話費（單位：元）

20

40

概率

現(xiàn)市民小王要參加此次問卷調(diào)查，記（單位：元）為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求的分布列及數(shù)學期望．

附：①；②若，則，，，

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，ABCD為矩形，是以為直角的等腰直角三角形，平面平面ABCD．

（1）證明：平面平面PBC；

（2）為直線PC的中點，且，求二面角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線經(jīng)過點且傾斜角為.

（1）求曲線的極坐標方程和直線的參數(shù)方程；

（2）已知直線與曲線交于，滿足為的中點，求.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年12月以來，湖北武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，并迅速在全國范圍內(nèi)開始傳播，專家組認為，本次病毒性肺炎病例的病原體初步判定為新型冠狀病毒，該病毒存在人與人之間的傳染，可以通過與患者的密切接觸進行傳染.我們把與患者有過密切接觸的人群稱為密切接觸者，每位密切接觸者被感染后即被稱為患者.已知每位密切接觸者在接觸一個患者后被感染的概率為，某位患者在隔離之前，每天有位密切接觸者，其中被感染的人數(shù)為，假設每位密切接觸者不再接觸其他患者.

（1）求一天內(nèi)被感染人數(shù)為的概率與、的關系式和的數(shù)學期望；

（2）該病毒在進入人體后有14天的潛伏期，在這14天的潛伏期內(nèi)患者無任何癥狀，為病毒傳播的最佳時間，設每位患者在被感染后的第二天又有位密切接觸者，從某一名患者被感染，按第1天算起，第天新增患者的數(shù)學期望記為.

（i）求數(shù)列的通項公式，并證明數(shù)列為等比數(shù)列；

（ii）若戴口罩能降低每位密切接觸者患病概率，降低后的患病概率，當取最大值時，計算此時所對應的值和此時對應的值，根據(jù)計算結(jié)果說明戴口罩的必要性.（取）

（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的生產(chǎn)所需的資金，需了解每投入2千萬資金后，工人人數(shù)(單位:百人)對年產(chǎn)能(單位：千萬元)的影響，對投入的人力和年產(chǎn)能的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到散點圖和統(tǒng)計量表.

（1）根據(jù)散點圖判斷:與哪一個適宜作為年產(chǎn)能關于投入的人力的回歸方程類型？并說明理由？

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及相關的計算數(shù)據(jù)，建立關于的回歸方程；

（3）現(xiàn)該企業(yè)共有2000名生產(chǎn)工人，資金非常充足，為了使得年產(chǎn)能達到最大值，則下一年度共需投入多少資金（單位：千萬元）？

附注：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，(說明:的導函數(shù)為)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】大約在20世紀30年代，世界上許多國家都流傳著這樣一個題目：任取一個正整數(shù)，如果它是偶數(shù)，則除以2；如果它是奇數(shù)，則將它乘以3加1，這樣反復運算，最后結(jié)果必然是1.這個題目在東方被稱為“角谷猜想”，世界一流的大數(shù)學家都被其卷入其中，用盡了各種方法，甚至動用了最先進的電子計算機，驗算到對700億以內(nèi)的自然數(shù)上述結(jié)論均為正確的，但卻給不出一般性的證明.例如取，則要想算出結(jié)果1，共需要經(jīng)過的運算步數(shù)是（ ）

A.9B.10C.11D.12

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