已知點(diǎn)A（0，-2），B（0，4），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足
PA
•
PB
=y2-8．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)（1）中所求軌跡與直線y=x+b交于C、D兩點(diǎn)，且OC⊥OD（O為原點(diǎn)），求b的值．
分析：（1）利用數(shù)量積即可得出；
（2）把直線方程與拋物線方程聯(lián)立利用根與系數(shù)的關(guān)系、
OC
⊥
OD
?
OC
•
OD
=0即可得出．
解答：解：（1）∵動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足
PA
•
PB
=y2-8，
∴（-x，-2-y）•（-x，4-y）=y2-8，
∴x2+y2-2y-8=y2-8，化為x2=2y．
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2=2y；
（2）設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2）．聯(lián)立
y=x+b
x2=2y
，
化為x2-2x-2b=0，∴△=4+8b＞0．
∴x1+x2=2，x1x2=-2b．（*）
∵
OC
⊥
OD
，∴x1x2+y1y2=x1x2+（x1+b）（x2+b）=0，
化為2x1x2+b(x1+x2)+b2=0，
把（*）代入上式得-4b+2b+b2=0，解得b=0或2．滿足△＞0．
∴b=0或2．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握數(shù)量積運(yùn)算、直線與拋物線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為把直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、
OC
⊥
OD
?
OC
•
OD
=0是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)A（0，2）拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，線段FA交拋物線與點(diǎn)B，過(guò)B做l的垂線，垂足為M，若AM⊥MF，則p=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)A（0，-2），B（0，4），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足
PA
•
PB
=y2-8；
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)（1）中所求軌跡方程與直線y=x+2交于C、D兩點(diǎn)；求證OC⊥OD（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，2）、B（1，1），直線l 經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且與線段OA相交．則直線 l 傾斜角α的取值范圍是
（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•寧波二模）在直角坐標(biāo)平面上，已知點(diǎn)A（0，2），B（0，1），D（t，0）（t＞0）．點(diǎn)M是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，如果|AM|≤2|BM|恒成立，則正實(shí)數(shù)t的最小值是
2
3
3
2
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)A（0，-2），B（0，4），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足
PA
•
PB
=y2-8，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是
x2=2y
x2=2y
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案