Question

已知空間向量，，•=，α∈（0，）．
（1）求sin2α及sinα，cosα的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=5cos（2x-α）+cos2x（x∈R），求f（x）的最小正周期和圖象的對稱中心坐標(biāo)；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的值域．

Answer 1

解：（1）由題意可得=（sinα-1）+（1-cosα）=sinα-cosα= ①，且α為銳角．
平方可得1-2sinαcosα=，即sin2α=②．
由①②解得 sinα=，cosα=．
（2）∵函數(shù)f（x）=5cos（2x-α）+cos2x=5cos2xcosα+5sin2xsinα+cos2x=4sin2x+4cos2x
=4sin（2x+），
故函數(shù)f（x）的最小正周期為=π．
令2x+=kπ，k∈z，可得x=，故對稱中心的坐標(biāo)為（，0），k∈z．
（3）由于當(dāng)x∈ 時，（2x+）∈[-，-]，
故-1≤sin（2x+）≤-，-4 ≤4sin（2x+）≤-2，
故函數(shù)f（x）的值域為[-4 ，-2]．
分析：（1）由題意可得=sinα-cosα= ①，且α為銳角，平方可得sin2α=②，解①②可得sinα，cosα的值．
（2）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為4sin（2x+），由此求得最小正周期，以及對稱中心的坐標(biāo)
（3）由于當(dāng)x∈ 時，（2x+）∈[-，-]，由此求得sin（2x+） 的范圍，即可求得函數(shù)f（x）的值域．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，復(fù)合三角函數(shù)的對稱性、定義域和值域，屬于中檔題．