Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)O為圓心，橢圓的短軸長為直徑的圓O相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C與直線y=kx（k＞0）在第一象限的交點(diǎn)為A．
①設(shè)B（$\sqrt{2}$，1），且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\sqrt{6}$，求k的值；
②若A與D關(guān)于x軸對稱，求△AOD的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出圓O的方程，運(yùn)用直線和圓相切的條件，求出b，再由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可求出a，進(jìn)而能求出橢圓方程．
（2）設(shè)出A的坐標(biāo)，代入橢圓方程，求出交點(diǎn)A的坐標(biāo)，①運(yùn)用向量的當(dāng)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可得到所求值；②運(yùn)用三角形面積公式，結(jié)合基本不等式即可得到△AOD的面積最大值．

解答 解：（1）由題設(shè)知圓O的方程為x²+y²=b²，
∵直線l：x-y+2=0與圓相切，故有$\frac{|2|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}=b$，解得b=$\sqrt{2}$，
∵e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴a²=3c²=3（a²-b²），即a²=3，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）設(shè)A（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0），則y₀=kx₀，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=k{x}_{0}}\\{\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2+3{k}^{2}}}}\\{{y}_{0}=\frac{\sqrt{6}k}{\sqrt{2+3{k}^{2}}}}\end{array}\right.$，
①∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$\frac{\sqrt{2}×\sqrt{6}}{\sqrt{2+3{k}^{2}}}+\frac{\sqrt{6}k}{\sqrt{2+3{k}^{2}}}$=$\sqrt{6}$，
解得k=$\sqrt{2}$，或k=0（舍），∴k=$\sqrt{2}$．
②∵${S}_{△AOD}=\frac{1}{2}{x}_{0}×2{y}_{0}=k{{x}_{0}}^{2}$
=$\frac{6k}{2+3{k}^{2}}=\frac{6}{\frac{2}{k}+3k}$≤$\frac{6}{2\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)k=$\frac{\sqrt{6}}{3}$時(shí)取等號(hào)．
∴S_△AOD的最大值為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和直線與圓相切的條件：d=r，同時(shí)考查直線方程和圓方程聯(lián)立，求交點(diǎn)，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和基本不等式求最值的方法，是中檔題．