Question

把一根長度為7的鐵絲截成3段．
（1）如果三段的長度均為整數(shù)，求能構(gòu)成三角形的概率；
（2）如果把鐵絲截成2、2、3的三段放入一個盒子中，然后有放回地摸4次，設(shè)摸到長度為2的次數(shù)為ξ，求Eξ與Dξ；
（3）如果截成任意長度的三段，求能構(gòu)成三角形的概率．

Answer 1

分析：（1）設(shè)構(gòu)成三角形的事件為A，先求出基本事件數(shù)有4種，其中能構(gòu)成三角形的情況有2種情況，從而可求能構(gòu)成三角形的概率；
（2）根據(jù)題意知隨機(jī)變量ξ～B(4，

2

3

)，利用Eξ=np，Dξ=np（1-p），可求Eξ與Dξ；
（3）設(shè)把鐵絲分成任意的三段，其中一段為x，第二段為y，則第三段為7-x-y，所以

x＞0 y＞0 y+x＜7

，如果要構(gòu)成三角形，則必須滿足：

x＞0 y＞0 y+x＞7-x-y x+7-x-y＞y y+7-x-y＞x

，故可求能構(gòu)成三角形的概率．

解答：解：（1）設(shè)構(gòu)成三角形的事件為A
基本事件數(shù)有4種情況：
“1，1，5”；“1，2，4”；“1，3，3”；“2，2，3”（2分）
其中能構(gòu)成三角形的情況有2種情況：“1，3，3”；“2，2，3”（3分）
則所求的概率是P(A)=

2

4

=

1

2

   （4分）
（2）根據(jù)題意知隨機(jī)變量ξ～B(4，

2

3

)（5分）
∴Eξ=np=4×

2

3

=

8

3

     （6分）
Dξ=np（1-p）=4×

2

3

×

1

3

=

8

9

   （8分）
（3）設(shè)把鐵絲分成任意的三段，其中一段為x，第二段為y，
則第三段為7-x-y．
∴

x＞0 y＞0 y+x＜7

        （9分）
如果要構(gòu)成三角形，則必須滿足：

x＞0 y＞0 y+x＞7-x-y x+7-x-y＞y y+7-x-y＞x

，
∴

x＞0 y＞0 y+x＞ 7 2 y＜ 7 2 x＜ 7 2

∴能構(gòu)成三角形的概率為P(A)=

S△MNP

S△OEF

=

1

4

．

點(diǎn)評：本題以實(shí)際問題為載體，考查概率知識的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是分清是古典概型，還是幾何概型，從而利用公式求解