考查復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基礎(chǔ)知識(shí)以及導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.
已知函數(shù)f(x)=ln(ax+1)+
1-x1+x
,x≥0
,其中a>0.
(1)若f(x)在x=1處取得極值,求a的值;
(2)若f(x)的最小值為1,求a的取值范圍.
分析:(1)求出f′(x),因?yàn)楹瘮?shù)在x=1處取極值,所以f'(1)=0求出a即可;
(2)求出f′(x),再進(jìn)行分類(lèi)討論:當(dāng)a≥2時(shí),f(x)在區(qū)間(0,+∞)上遞增,f(x)的最小值為f(0)=1.
當(dāng)0<a<2時(shí),可確定f(x)的單調(diào)減區(qū)間,單調(diào)增區(qū)間從而可知,f(x)在x=
2-a
a
處取得最小值,不合,故可求a的取值范圍.
解答:解:(1)f′(x)=
a
ax+1
-
2
(1+x)2
=
ax2+a-2
(ax+1)(1+x)2

因f(x)在x=1處取得極值,故f'(1)=0,解得a=1 (經(jīng)檢驗(yàn)).…(4分)
(2)f′(x)=
ax2+a-2
(ax+1)(1+x)2
,因x≥0,a>0,故ax+1>0,1+x>0.
當(dāng)a≥2時(shí),在區(qū)間(0,+∞)上f'(x)≥0,f(x)遞增,f(x)的最小值為f(0)=1.
當(dāng)0<a<2時(shí),由f'(x)>0,解得x>
2-a
a
;由f'(x)<0,解得x<
2-a
a

∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,
2-a
a
)
,單調(diào)增區(qū)間為(
2-a
a
,+∞)

于是,f(x)在x=
2-a
a
處取得最小值f(
2-a
a
)<f(0)=1
,不合.
綜上可知,若f(x)得最小值為1,則a的取值范圍是[2,+∞).…(10分)
注:不檢驗(yàn)不扣分.
點(diǎn)評(píng):本題以函數(shù)為載體,考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力,考查復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基礎(chǔ)知識(shí)以及導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用,注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用
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已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3.

(1)求f(x)的解析式;

(2)若過(guò)點(diǎn)A(2,m)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問(wèn),利用函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x

(2)中設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03-3x0),因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分離參數(shù)∴m=-2x03+6x02-6

然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函數(shù)求導(dǎo)數(shù),判定單調(diào)性,從而得到要是有三解,則需要滿足-6<m<2

解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c

依題意

又f′(0)=-3

∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x

(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03-3x0),

∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3

∴切線方程為y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)

又切線過(guò)點(diǎn)A(2,m)

∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)

∴m=-2x03+6x02-6

令g(x)=-2x3+6x2-6

則g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)

由g′(x)=0得x=0或x=2

∴g(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,(0,2)單調(diào)遞增,(2,+∞)單調(diào)遞減.

∴g(x)極小值=g(0)=-6,g(x)極大值=g(2)=2

畫(huà)出草圖知,當(dāng)-6<m<2時(shí),m=-2x3+6x2-6有三解,

所以m的取值范圍是(-6,2).

 

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