Question

若△ABC三邊成等差數(shù)列，則B的范圍是     ；若△ABC三邊成等比數(shù)列，則B的范圍是     ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出三角形的三邊分別為a，b，c，由三邊成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知2b等于a+c，利用余弦定理表示出cosB，然后把b等于a+c的一半代入，利用基本不等式即可求出cosB的最小值，根據(jù)B的范圍及余弦函數(shù)在此區(qū)間為減函數(shù)即可得到B的范圍；當(dāng)三邊成等比數(shù)列時，利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到b的平方等于ac的積，同理利用余弦定理表示出cosB，把求出的關(guān)系式代入后，利用基本不等式即可得到cosB的最小值，根據(jù)B的范圍，且根據(jù)余弦函數(shù)在此范圍為減函數(shù)，即可得到B的范圍．
解答：解：設(shè)三角形的三邊分別為a，b，c，
由三邊成等差數(shù)列可知：b=，
由余弦定理得：cosB===≥=，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號，
又B∈（0，π），且余弦函數(shù)在此區(qū)間為減函數(shù)，所以B∈（0，]；
由三邊成等比數(shù)列可知：b²=ac，
由余弦定理得：cosB==≥=，
同理可得B∈（0，]．
故答案為：（0，]；（0，]．
點評：此題考查學(xué)生靈活運用余弦定理化簡求值，掌握余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，靈活運用基本不等式求函數(shù)的最大值，是一道綜合題．