Question

已知過橢圓

x2

a2

+y²=1（a＞1）的頂點B（0，-1），做橢圓的弦AB，求|AB|的最大值，并求此時的A的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由點A是橢圓

x2

a2

+y²=1（a＞1）上的一點，可設A（acosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．利用兩點之間的距離公式可得|AB|²=（acosθ）²+（sinθ+1）²=(1-a2)(sinθ-

1

a2-1

)2+1+a²-

1

1-a2

．對a分類討論利用二次函數的單調性即可得出．

解答： 解：由點A是橢圓

x2

a2

+y²=1（a＞1）上的一點，
可設A（acosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．
∴|AB|²=（acosθ）²+（sinθ+1）²
=a²cos²θ+sin²θ+2sinθ+1
=(1-a2)(sinθ-

1

a2-1

)2+1+a²-

1

1-a2

．
當1＜a²＜2時，

1

a2-1

＞1，當sinθ=1時，|AB|²取得最大值4，即AB|取得最大值2，此時A（0，1）．
當a²≥2時，0＜

1

a2-1

≤1，當sinθ=

1

a2-1

時，|AB|²取得最大值1+a²-

1

1-a2

，即AB|取得最大值

a2 a2-1

a2-1

，此時A(

±a a2-2

a2-1

，

1

a2-1

)．

點評：本題考查了橢圓的參數方程、兩點之間的距離公式、同角三角函數的基本關系式、二次函數的單調性，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力 與計算能力，屬于難題．