Question

已知方程

x2

10-k

+

y2

k-2

=1表示橢圓．
（1）求k的取值范圍；
（2）若橢圓經過點（1，-

3

），求橢圓的方程、離心率和準線方程．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程,橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題意可得

10-k＞0 k-2＞0 10-k≠k-2

，解不等式可求k的范圍；
（2）把點（1，-

3

）代入橢圓方程求解即可．

解答： 解：（1）∵方程

x2

10-k

+

y2

k-2

=1=1表示橢圓
∴

10-k＞0 k-2＞0 10-k≠k-2

，
∴2＜k＜10且k≠6
故k∈（2，6）∪（6，10）；
（2）∵橢圓經過點（1，-

3

），
∴

1

10-k

+

3

k-2

=1，
解得k=8或k=6（舍），
故橢圓方程是：

y2

6

+

x2

2

=1，
離心率e=

c

a

=

6-2

6

=

6

3

，
準線方程為：y=±

a2

c

=±

6

6-2

=±3．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程的應用，屬于基礎試題