Question

2．已知直線l與橢圓$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）相切于直角坐標(biāo)系的第一象限的點(diǎn)P（x₀，y₀），且直線l與x、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，當(dāng)△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積最小時(shí)，∠F₁PF₂=60°（F₁、F₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)），若此時(shí)∠F₁PF₂的內(nèi)角平分線長(zhǎng)度為$\frac{{\sqrt{3}}}{m}$a，則實(shí)數(shù)m的值是（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{7}{3}$
• C． $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由題意，切線方程為$\frac{{y}_{0}y}{{a}^{2}}+\frac{{x}_{0}x}{^{2}}$=1，利用基本不等式，結(jié)合△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積最小，可得切點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形的面積公式，建立方程，即可求出實(shí)數(shù)m的值．

解答 解：由題意，切線方程為$\frac{{y}_{0}y}{{a}^{2}}+\frac{{x}_{0}x}{^{2}}$=1，
∵直線l與x、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，
∴A（$\frac{^{2}}{{x}_{0}}$，0），B（0，$\frac{{a}^{2}}{{y}_{0}}$），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}•\frac{{a}^{2}^{2}}{{x}_{0}{y}_{0}}$，
∵$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{x}_{0}}^{2}}{^{2}}$=1≥$\frac{{2x}_{0}{y}_{0}}{ab}$，
∴$\frac{1}{{x}_{0}{y}_{0}}$≥$\frac{2}{ab}$，
∴S_△AOB≥ab，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{y}_{0}}{a}$=$\frac{{x}_{0}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積最小，
設(shè)|PF₁|=x，|PF₂|=y，由余弦定理可得4c²=x²+y²-xy，∴xy=$\frac{4}{3}$b²，
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}xysin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$b²，
∴$\frac{1}{2}×2c×{y}_{0}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$b²，
∴y₀=$\frac{\sqrt{3}^{2}}{3c}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，
∴c=$\frac{\sqrt{6}}{3}$b，
∴a=$\frac{\sqrt{15}}{3}$b
∵∠F₁PF₂的內(nèi)角平分線長(zhǎng)度為$\frac{{\sqrt{3}}}{m}$a，
∴$\frac{1}{2}$×x×$\frac{{\sqrt{3}}}{m}$a×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$×y×$\frac{{\sqrt{3}}}{m}$a×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$b²，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}a}{2m}$（x+y）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$b²，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}a}{2m}$×2a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$b²，
∴m=$\frac{5}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形面積的計(jì)算，考查直線與橢圓是位置關(guān)系，考查余弦定理的運(yùn)用，難度大．