(2013•普陀區(qū)一模)設(shè)函數(shù)f(x)和x都是定義在集合
2
上的函數(shù),對(duì)于任意的
2
x,都有x成立,稱函數(shù)x與y在l上互為“l(fā)函數(shù)”.
(1)函數(shù)f(x)=2x與g(x)=sinx在M上互為“H函數(shù)”,求集合M;
(2)若函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)與g(x)=x+1在集合M上互為“x函數(shù)”,求證:a>1;
(3)函數(shù)m與m在集合M={x|x>-1且x≠2k-3,k∈N*}上互為“m函數(shù)”,當(dāng)m時(shí),m,且m在m上是偶函數(shù),求函數(shù)m在集合M上的解析式.
分析:(1)由f(g(x)=g(f(x)),得2sinx=sin2x,由此能求出集合M.
(2)由題意得,ax+1=ax+1(a>0且a≠1),變形得ax(a-1)=1,由于a>0且a≠1,ax=
1
a-1
,由此能證明a>1.
(3)當(dāng)-1<x<0,則0<-x<1,由于函數(shù)g(x)在(-1,1)上是偶函數(shù),知g(x)=g(-x)=log2(1-x),由此能求出函數(shù)m在集合M上的解析式.
解答:(1)解:由f(g(x)=g(f(x)),得2sinx=sin2x,
化簡(jiǎn)得,2sinx(1-cosx)=0,sinx=0或cosx=1,…(2分)
解得x=kπ或x=2kπ,k∈Z,
即集合M={x|x=kπ}k∈Z.…(2分)
(若學(xué)生寫(xiě)出的答案是集合M={x|x=kπ,k∈Z}的非空子集,扣(1分),以示區(qū)別.)
(2)證明:由題意得,ax+1=ax+1(a>0且a≠1)…(2分)
變形得,ax(a-1)=1,由于a>0且a≠1,ax=
1
a-1
,…(2分)
因?yàn)閍x>0,所以
1
a-1
>0
,即a>1.…(2分)
(3)解:當(dāng)-1<x<0,則0<-x<1,由于函數(shù)g(x)在(-1,1)上是偶函數(shù)
則g(x)=g(-x)=log2(1-x)
所以當(dāng)-1<x<1時(shí),g(x)=log2(1+|x|)…(2分)
由于f(x)=x+2與函數(shù)g(x)在集合M上“互為H函數(shù)”
所以當(dāng)x∈M,f(g(x)=g(f(x))恒成立,
g(x)+2=g(x+2)對(duì)于任意的x∈(2n-1,2n+1)(n∈N)恒成立,
即g(x+2)-g(x)=2…(2分)
所以g[x+2(n-1)+2]-g[x+2(n-1)]=2,
即g(x+2n)-g[x+2(n-1)]=2
所以g(x+2n)=g(x)+2n,
當(dāng)x∈(2n-1,2n+1)(n∈N)時(shí),x-2n∈(-1,1)g(x-2n)=log2(1+|x-2n|)…(2分)
所以當(dāng)x∈M時(shí),g(x)=g[(x-2n)+2n]=g(x-2n)+2n=log2(1+|x-2n|)+2n.…(2分)
點(diǎn)評(píng):本題考查集合的求法,考查不等式的證明,考查函數(shù)的解析式的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.
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π
2
<?<
π
2
)的部分圖象如圖,則f(0)=
-1
-1

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AB
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=2
,
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=-7
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AB
|
=
3
3

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>1}
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3
5
3
5
(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示).

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1
x
)10
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180
180

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