分析 (1)利用誘導公式,降冪公式化簡函數(shù)解析式可得f(x)=cos2x+\frac{1}{2},利用周期公式可求最小正周期,根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可求單調(diào)遞減區(qū)間.
(2)由(1)及f(\frac{A}{2})=1可求A,利用余弦定理,基本不等式可求bc≤4,進而利用三角形面積公式即可得解面積的最大值.
解答 解:(1)∵f(x)=\frac{1}{2}sin(2x+\frac{π}{2})+\frac{1+cos2x}{2}=\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}=cos2x+\frac{1}{2}.
∴T=\frac{2π}{2}=π.
∵令2kπ≤2x≤2kπ+π⇒kπ≤x≤kπ+\frac{π}{2},k∈Z,
∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ,kπ+\frac{π}{2}],k∈Z.
(2)∵f(\frac{A}{2})=1⇒cosA+\frac{1}{2}=1⇒cosA=\frac{1}{2}⇒A=\frac{π}{3}.
又∵a=2,
∴a2=b2+c2-2bccosA,可得:4=b2+c2-bc≥bc,
∴bc≤4.
∴{S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{1}{2}×4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3},當且僅當b=c=2時取等號.
點評 本題主要考查了誘導公式,降冪公式,周期公式,余弦函數(shù)的單調(diào)性,余弦定理,基本不等式,三角形面積公式在解三角形中的綜合應用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | -a>-b | B. | a+c>b+c | C. | \frac{1}{a}>\frac{1} | D. | (-a)2>(-b)2 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | -2 | B. | -\frac{5}{3} | C. | -\frac{1}{3} | D. | 1 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 命題“?x0∈R,{x_0}^2-{x_0}≤0”的否定為“?x∈R,x2-x>0” | |
B. | 命題“在△ABC中,A>30°,則sinA>\frac{1}{2}”的逆否命題為真命題 | |
C. | 若非零向量\overrightarrow a、\overrightarrow b滿足|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a}|-|{\overrightarrow b}|,則\overrightarrow a與\overrightarrow b共線 | |
D. | 設{an}是公比為q的等比數(shù)列,則“q>1”是“{an}為遞增數(shù)列”的充分必要條件 |
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