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4.已知函數(shù)f(x)=sin(x+\frac{π}{4})cos(x+\frac{π}{4})+cos2x.
(1)試求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,若f(\frac{A}{2})=1,a=2,試求△ABC面積的最大值.

分析 (1)利用誘導公式,降冪公式化簡函數(shù)解析式可得f(x)=cos2x+\frac{1}{2},利用周期公式可求最小正周期,根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可求單調(diào)遞減區(qū)間.
(2)由(1)及f(\frac{A}{2})=1可求A,利用余弦定理,基本不等式可求bc≤4,進而利用三角形面積公式即可得解面積的最大值.

解答 解:(1)∵f(x)=\frac{1}{2}sin(2x+\frac{π}{2})+\frac{1+cos2x}{2}=\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}=cos2x+\frac{1}{2}
∴T=\frac{2π}{2}=π.
∵令2kπ≤2x≤2kπ+π⇒kπ≤x≤kπ+\frac{π}{2},k∈Z,
∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ,kπ+\frac{π}{2}],k∈Z.
(2)∵f(\frac{A}{2})=1⇒cosA+\frac{1}{2}=1⇒cosA=\frac{1}{2}⇒A=\frac{π}{3}
又∵a=2,
∴a2=b2+c2-2bccosA,可得:4=b2+c2-bc≥bc,
∴bc≤4.
{S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{1}{2}×4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3},當且僅當b=c=2時取等號.

點評 本題主要考查了誘導公式,降冪公式,周期公式,余弦函數(shù)的單調(diào)性,余弦定理,基本不等式,三角形面積公式在解三角形中的綜合應用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎題.

練習冊系列答案
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(2)已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,若f(\frac{A}{2})=1,a=2,試求△ABC面積的最大值.

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16.如果實數(shù)x,y滿足約束條件\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4≥0}\\{x-y+2≥0}\\{2x+y-3≤0}\end{array}\right.,則2x-y的最小值為(  )
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13.如圖,已知直線l1:kx+y=0和直線l2:kx+y+b=0(b>0),射線OC的一個法向量為\overrightarrow{n_3}=(-k,1),點O為坐標原點,且k≥0,直線l1和l2之間的距離為2,點A、B分別是直線l1、l2上的動點,P(4,2),PM⊥l1于點M,PN⊥OC于點N;
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14.下列選項中,說法正確的是( �。�
A.命題“?x0∈R,{x_0}^2-{x_0}≤0”的否定為“?x∈R,x2-x>0”
B.命題“在△ABC中,A>30°,則sinA>\frac{1}{2}”的逆否命題為真命題
C.若非零向量\overrightarrow a、\overrightarrow b滿足|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a}|-|{\overrightarrow b}|,則\overrightarrow a\overrightarrow b共線
D.設{an}是公比為q的等比數(shù)列,則“q>1”是“{an}為遞增數(shù)列”的充分必要條件

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