Question

①一段長為36米的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形長寬為多少時，菜園面積最大，最大面積為多少？
②關于x的不等式x²+ax-2＞0在區(qū)間[1，5]上有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：基本不等式,一元二次不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：①設這個矩形長寬分別為x，y，則2（x+y）=36，即x+y=18，（x，y＞0）．利用基本不等式的性質(zhì)可得矩形的面積S=xy≤(

x+y

2

)2．
②關于x的不等式x²+ax-2＞0在區(qū)間[1，5]上有解?a＞

2-x2

x

=

2

x

-x恒成立，x∈[1，5]．?a＞(

2

x

-x)max，x∈[1，5]．利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：①設這個矩形長寬分別為x，y，則2（x+y）=36，即x+y=18，（x，y＞0）．
∴矩形的面積S=xy≤(

x+y

2

)2=81，當且僅當x=y=9時取等號．
∴這個矩形長寬都為9時，菜園面積最大，最大面積為81m²．
②∵關于x的不等式x²+ax-2＞0在區(qū)間[1，5]上有解?a＞

2-x2

x

=

2

x

-x恒成立，x∈[1，5]．
?a＞(

2

x

-x)max，x∈[1，5]．
函數(shù)f（x）=

2

x

-x在x∈[1，5]上單調(diào)遞減，當x=1時，函數(shù)f（x）取得最大值1．
∴a＞1．
∴實數(shù)a的取值范圍是a＞1．

點評：本題考查了基本不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、矩形的面積，考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．