Question

如圖，已知三棱錐P―ABC中，PA⊥平面ABC，AN⊥BC于N，D是AB的中點，且PA=1，AN=BN=CN=.

   （Ⅰ）求證：PB⊥AC；

   （Ⅱ）求異面直線CD與PB所成角的大��；

   （Ⅲ）求點A到平面PBC的距離.

Answer 1

解法一：

   （I）∵AN⊥BC，且AN=BN=CN=，

∴AB=AC且AB⊥AC.

∵PA⊥平面ABC，

∴AB是PB在平面ABC內(nèi)的射影.

∵PB⊥AC

   （II）取PA的中點M，連結(jié)DM，CM，則DM//PB.

        ∴∠CDM是異面直線CD與PB所成的角.

        由（I）可求得AB=AC=2，

        在△CDM中，

       

        所以異面直線CD與PB所成角的大小為arccos.

   （III）連結(jié)PN.

         ∵PA⊥平面ABC，

         又由已知可得CN⊥平面PAN，

         ∴平面PAN⊥平面ABC.

過A點作AH⊥PN于H，

則AH⊥平面PBC.

∴AH的長就是點Ａ到平面PBC的距離.

由已知可得BC=2.

∵PA⊥平面ABC.

∴PA⊥AN.

又PN=，

在Rt△PAN中，

有

即點A到平面PBC的距離是.

解法二：

   （I）∵AN⊥BC，

        且AN=BN=CN=,

∴AB=AC且AB⊥AC.

以A為原點，AB，AC，AP

分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則有P（0，0，1），B（2， 0，0），

C（0，2，0），D（1，0，0），A（0，0，0）.

=（2，0，－1），=（0，2，0），

?=2×0+0×2+（－1）×0=0.

∴⊥.

∴PB⊥AC

   （II）=（1，－2，0），

         設(shè)異面直線CD與PB所成的角為θ.

         .

         所以異面直線CD與PB所成角的大小為arccos.

   （III）設(shè)平面PBC的法向量為.

則點A到平面PBC的距離為