精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

已知 $數(shù)學(xué)公式$ ，其中向量 $數(shù)學(xué)公式$ =（ $數(shù)學(xué)公式$ ）， $數(shù)學(xué)公式$ =（1，2cosx）（x∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，f（A）=2， $數(shù)學(xué)公式$ ，b=3，求邊長c的值．

解：（1）f（x）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ -1=（ $\text{[math]}$ sin2x，cosx）•（1，2cosx）-1
= $\text{[math]}$ sin2x+2cos²x-1= $\text{[math]}$ sin2x+cos2x=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）
由2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ 得kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$
∴f（x）的遞增區(qū)間為 $\text{[math]}$ （k∈z）

（2）f（A）=2sin（2A+ $\text{[math]}$ ）=2，∴sin（2A+ $\text{[math]}$ ）=1，
∴2A+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴A= $\text{[math]}$ 由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA
3=9+c²-3 $\text{[math]}$ c即c²-3 $\text{[math]}$ c+6=0（c-2 $\text{[math]}$ ）（c- $\text{[math]}$ ）=0∴c=2 $\text{[math]}$ 或c= $\text{[math]}$
分析：（1）利用f（x）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ -1展開，利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡為：2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）
利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求出f（x）的遞增區(qū)間即可．
（2）通過f（A）=2sin（2A+ $\text{[math]}$ ）=2求出A= $\text{[math]}$ ，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA
求出c=2 $\text{[math]}$ 或c= $\text{[math]}$ 即可．
點評：本題是基礎(chǔ)題，考查二倍角公式兩角和的正弦函數(shù)，化簡三角函數(shù)表達式，余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力．

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