Question

20．已知函數(shù)f（x）=4cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-2sin²x，x∈R
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（2）求函數(shù)在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式化簡求得f（x）=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），利用正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間，
（2）根據(jù)x的取值范圍求得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，求f（x）的最大和最小值．

解答 解：f（x）=4cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-2sin²x，
=2（2cos²x-1）+2+$\sqrt{3}$sin2x+1-2sin²x-1，
=3cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1，
=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$得：kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$（k∈Z），
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為：[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]；
（2）x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
f（x）=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時取最大值為2$\sqrt{3}$+1，
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$，x=$\frac{π}{2}$時，取最小值為-$\sqrt{3}$+1．

點評 本題考查根據(jù)二倍角公式化簡，根據(jù)正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)求得函數(shù)的最小周期、單調(diào)區(qū)間及最值，屬于中檔題．