Question

酒杯的形狀為倒立的圓錐，杯深8cm，上口寬6cm，水以20cm³/s的流量倒入杯中，當水深為4cm時，則水面升高的瞬時變化率是

 

．

Answer 1

分析：作出如圖的圖象，建立起水面高h與時間t的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求出水面升高時的瞬時變化率即得到正確答案

解答：解：由題意，如圖，設(shè)t時刻水面高為h，水面圓半徑是r，
由圖知

r

h

=

3

8

可得r=

3

8

h，此時水的體積為

1

3

×π×r²×h=

3π

64

h3
又由題設(shè)條件知，此時的水量為20t
故有20t=

3π

64

h3，故有h=(

1280t

3π

)

1

3

h'=

1

3

×(

1280t

3π

)-

2

3

×

1280

3π

 
又當h=4時，有t=

3π

20

，故h=4時，h'=

1

3

×(

1280× 3π 20

3π

)-

2

3

×

1280

3π

 =

80

9π

當水深為4cm時，則水面升高的瞬時變化率是

80

9π

cm/s
故答案為

80

9π

cm/s

點評：本題考查變化的快慢與變化率，正確解答本題關(guān)鍵是得出高度關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系，然后利用導(dǎo)數(shù)求出高度為4時刻的導(dǎo)數(shù)值，即得出此時的變化率，本題是一個應(yīng)用題求解此類題，正確理解題意很關(guān)鍵．由于所得的解析式復(fù)雜，解題時運算量較大，要認真解題避免因為運算出錯導(dǎo)致解題失敗．