已知數(shù)集A={a1,a2,…,an}(1=a1<a2<…<an,n≥4)具有性質(zhì)P:對任意的k(2≤k≤n),?i,j(1≤i≤j≤n),使得ak=ai+aj成立.
(Ⅰ)分別判斷數(shù)集{1,2,4,6}與{1,3,4,7}是否具有性質(zhì)P,并說明理由;
(Ⅱ)求證:a4≤2a1+a2+a3;
(Ⅲ)若an=72,求n的最小值.
分析:(Ⅰ)根據(jù)性質(zhì)P直接驗(yàn)證即可.
(Ⅱ)由于集合A={a1,a2,…,an}具有性質(zhì)P,于是對a4而言,存在ai,aj∈{a1,a2,…,an},使得 a4=ai+aj,可得a4≤2a3,同理可得a3≤2a2,a2≤2a1,進(jìn)而可得結(jié)論.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知a2≤2a1,a3≤2a2…,得a2≤2,…,a7≤64<72,所以n≥8.按照性質(zhì)P去構(gòu)造數(shù)集A即可.
解答:解:(Ⅰ)因?yàn)?=1+1,4=2+2,6=2+4,所以{1,2,4,6}具有性質(zhì)P.
因?yàn)椴淮嬖赼i,aj∈{1,3,4,7},使得3=ai+aj
所以{1,3,4,7}不具有性質(zhì)P.
(Ⅱ)因?yàn)榧螦={a1,a2,…,an}具有性質(zhì)P,
所以對a4而言,存在ai,aj∈{a1,a2,…,an},使得 a4=ai+aj
又因?yàn)?=a1<a2<a3<a4…<an,n≥4
所以ai,aj≤a3,所以a4=ai+aj≤2a3
同理可得a3≤2a2,a2≤2a1
將上述不等式相加得a2+a3+a4≤2(a1+a2+a3
所以a4≤2a1+a2+a3
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知a2≤2a1,a3≤2a2…,
又a1=1,所以a2≤2,a3≤4,a4≤8,a5≤16,a6≤32,a7≤64<72
所以n≥8
構(gòu)造數(shù)集A={1,2,4,5,9,18,36,72}(或A={1,2,3,6,9,18,36,72}),
經(jīng)檢驗(yàn)A具有性質(zhì)P,故n的最小值為8.
點(diǎn)評:正確理解數(shù)集A={a1,a2,…,an}(1=a1<a2<…<an,n≥4)具有性質(zhì)P及會演繹推理是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)集A={a1,a2,…,an}(1≤a1<a2<…an,n≥2)具有性質(zhì)P;對任意的i,j(1≤i≤j≤n),aiaj
aj
ai
兩數(shù)中至少有一個屬于A.
(I)分別判斷數(shù)集{1,3,4}與{1,2,3,6}是否具有性質(zhì)P,并說明理由;
(Ⅱ)證明:a1=1,且
a1+a2+…+an
a
-1
1
+
a
-1
2
+…+
a
-1
n
=an

(Ⅲ)證明:當(dāng)n=5時(shí),a1,a2,a3,a4,a5成等比數(shù)列.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)集A={a1,a2,…,an}(1≤a1<a2<…<an,n≥2)具有性質(zhì)P:對任意的i,j(1≤i≤j≤n),aiaj
ajai
兩數(shù)中至少有一個屬于A.
(1)分別判斷數(shù)集{1,3,4}與{1,2,3,6}是否具有性質(zhì)P,并說明理由;
(2)求a1的值;當(dāng)n=3時(shí),數(shù)列a1,a2,a3是否成等比數(shù)列,試說明理由;
(3)由(2)及通過對A的探究,試寫出關(guān)于數(shù)列a1,a2,…,an的一個真命題,并加以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)集A={a1,a2,…,an},其中0≤a1<a2<…<an,且n≥3,若對?i,j(1≤i≤j≤n),aj+ai與aj-ai兩數(shù)中至少有一個屬于A,則稱數(shù)集A具有性質(zhì)P.
(Ⅰ)分別判斷數(shù)集{0,1,3}與數(shù)集{0,2,4,6}是否具有性質(zhì)P,說明理由;
(Ⅱ)已知數(shù)集A={a1,a2…a8}具有性質(zhì)P,判斷數(shù)列a1,a2…a8是否為等差數(shù)列,若是等差數(shù)列,請證明;若不是,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)集A={a1,a2,…,an}(0≤a1<a2<…<an,n≥3)具有性質(zhì)P:對?i,j(1≤i≤j≤n),aj+ai與aj-ai兩數(shù)中至少有一個屬于A.
(1)分別判斷數(shù)集{0,1,3}與數(shù)集{0,2,4,6}是否具有性質(zhì)P,說明理由;
(2)求證:a1+a2+…+an=
n2
an;
(3)已知數(shù)集A={a1,a2…,a8}具有性質(zhì)P.證明:數(shù)列a1,a2,a8是等差數(shù)列.

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