Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$+x．
（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（2）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]的最值．

Answer 1

分析 （1）（2）分別利用函數(shù)的奇偶性定義和單調(diào)性定義進行判斷證明；
（3）利用（2）的結(jié)論，得到函數(shù)區(qū)間上的單調(diào)性，進一步求得最值．

解答 解：已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$+x則函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）
（1）函數(shù)為奇函數(shù)
理由：對任意的x∈{x|x≠0，都有$f（-x）=\frac{1}{（-x）}+（-x）=-（\frac{1}{x}+x）=-f（x）$，故函數(shù)f（x）為定義域上的奇函數(shù)．
（2）證：對區(qū)間（1，+∞）上的任意兩個數(shù)x₁、x₂，且x₁＜x₂，則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（\frac{1}{x_1}+{x_1}）-（\frac{1}{x_2}+{x_2}）=（{x_1}-{x_2}）\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{{x_1}{x_2}}}$．
由于x₁、x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂，則x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0，x₁-x₂＜0．
從而f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），
因此函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)．
（3）有（2）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上為增函數(shù)，故f_min（x）=f（1）=2，${f_{max}}（x）=f（3）=\frac{10}{3}$．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及最值的求法；熟練運用定義是解答本題的關(guān)鍵．