1.已知2件次品和a件正品放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分,每次隨機檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到檢測出2件次品或者檢測出a件正品時檢測結束,已知前兩次檢測都沒有檢測出次品的概率為310310
(1)求實數(shù)a的值;
(2)若每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元,設x表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位:元),求x的分布列和均值.

分析 (1)由已知條件利用相互獨立事件概率乘法公式列出方程,由此能求出實數(shù)a的值.
(2)設檢測的次數(shù)為ξ,則ξ的取值為2,3,4,分別求出相應的概率,再由X=10ξ,得到X的分布列,從而能求出X的均值.

解答 解:(1)∵2件次品和a件正品放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分,
每次隨機檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到檢測出2件次品或者檢測出a件正品時檢測結束,
前兩次檢測都沒有檢測出次品的概率為310,
a2+a×a11+a=310,
整理,得7a2-19a-6=0,
解得a=-27(舍)或a=3.
∴實數(shù)a的值為3.
(2)設檢測的次數(shù)為ξ,則ξ的取值為2,3,4,
ξ=2對應事件“前2個排的均是次品”,
P(ξ=2)=A22A25=110,
ξ=4對應事件“前3次檢測的是2個正品和1個次品”,
P(ξ=4)=C23C12A33A35=610
P(ξ=3)=1-P(ξ=2)-P(ξ=4)=310,
又由X=10ξ,得到X的分布列為:

 X 200 300 400
 ξ 2 3 4
 P 110 310 610
EX=100Eξ=10(2×110+3×310+4×610)=350.

點評 本題考查實數(shù)值的求法,考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意排列組合知識的合理運用.

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