Processing math: 100%
20.已知函數(shù)f(x)=-a2x2+(a-1)x+lnx.
(Ⅰ)若a>-1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若a>1,求證:(2a-1)f(x)<3ea-3

分析 (Ⅰ)求導(dǎo),令f′(x)=0,解得x1、x2,再進(jìn)行分類討論,利用導(dǎo)數(shù)大于0,求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;利用導(dǎo)數(shù)小于0,求得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;
(Ⅱ)a>1,由函數(shù)單調(diào)性可知,f(x)在x=1取極大值,也為最大值,f(x)max=12a-1,因此(2a-1)f(x)≤(2a-1)(12a-1),構(gòu)造輔助函數(shù)g(a)=2a112a1ea3,求導(dǎo),求出g(a)的單調(diào)區(qū)間及最大值92e,92e93=3,可知g(a)<3,ea-3>0,即可證明(2a-1)f(x)<3ea-3

解答 解:(Ⅰ)f(x)=-a2x2+(a-1)x+lnx,x>0
當(dāng)a=0時(shí),數(shù)f(x)=-x+lnx,
f′(x)=-1+1x,
令f′(x)=0,解得:x=1,
當(dāng)0<x<1,f′(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增,
當(dāng)x>1時(shí),f′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,
當(dāng)a≠0,則f′(x)=-ax+(a-1)+1x=ax2+a1x+1x,
令f′(x)=0,解得x1=1,x2=-1a,
當(dāng)-1a>1,解得-1<a<0,
∴-1<a<0,f′(x)>0的解集為(0,1),(-1a,+∞),
f′(x)<0的解集為(1,-1a),
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為:(0,1),(-1a,+∞),
函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,-1a);
當(dāng)-1a<1,解得a>0,
∴a>0,f′(x)>0的解集為(0,1),
f′(x)<0的解集為(1,+∞);
∴當(dāng)a>0,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),
函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞);
綜上可知:-1<a<0,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為:(0,1),(-1a,+∞),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,-1a);
a≥0,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞);
(Ⅱ)證明:∵a>1,故由(Ⅰ)可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞),
∴f(x)在x=1時(shí)取最大值,并且也是最大值,即f(x)max=12a-1,
又∵2a-1>0,
∴(2a-1)f(x)≤(2a-1)(12a-1),
設(shè)g(a)=2a112a1ea3,g′(a)=-2a29a+72ea3=-a12a72ea3,
∴g(a)的單調(diào)增區(qū)間為(2,72),單調(diào)減區(qū)間為(72,+∞),
∴g(a)≤g(72)=6×34e12=92e
∵2e>3,
92e93=3,
∴g(a)<3,
ea-3>0,
∴(2a-1)f(x)<3ea-3

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用,利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值及單調(diào)性區(qū)間,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,考查不等式的證明,正確構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

16.由曲線y=1x(x>0),直線x=1,x=2及x軸所圍成的平面圖形的面積為(  )
A.ln2B.ln2-1C.1+ln2D.2ln2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

11.定義在(-1,1)上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)-f(y)=f(xy1xy),當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),有f(x)>0,且f(-12)=1.設(shè)m=f(15)+f(111)+…+f(1n2+n1)n≥2,n∈N*,則實(shí)數(shù)m與-1的大小關(guān)系是m>-1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

8.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線與拋物線C交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn),且直線l與圓x2-px+y2-34p2=0交于C,D兩點(diǎn),若|AB|=2|CD|,則直線l的斜率為( �。�
A.±22B.±32C.±1D.±2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

15.若拋物線y=13x2上的兩點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)恰好是關(guān)于x的方程x2+px+q=0(常數(shù)p,q∈R)的兩個(gè)實(shí)根,則直線AB的方程是(  )
A.qx+3y+p=0B.qx-3y+p=0C.px+3y+q=0D.px-3y+q=0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的n值是( �。�
A.5B.4C.3D.2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

12.已知等比數(shù)列{an}中,公比q>1,a1+a7=27,a3•a5=72,則a13a5=16.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

9.若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式{x2y+80xy102x+y40,則yx+1的最小值是14;|2x-y-2|的最大值是9.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

10.已知集合A={x|x<-2或x>1},B={x|x>2或x<0},則(∁RA)∩B=( �。�
A.(-2,0)B.[-2,0)C.D.(-2,1)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案