如圖所示，等腰△ABC的底邊數(shù)學公式，高CD=3，點E是線段BD上異于點B，D的動點，點F在BC邊上，且EF⊥AB，現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AC，記BE=x，V（x）表示四棱錐P-ACFE的體積．
（1）求V（x）的表達式；
（2）當x為何值時，V（x）取得最大值？
（3）當V（x）取得最大值時，求異面直線AC與PF所成角的余弦值．

解：（1）由折起的過程可知，PE⊥平面ABC，

V（x）=（）

（2），所以x∈（0，6）時，v'（x）＞0，V（x）單調遞增；
時v'（x）＜0，V（x）單調遞減；
因此x=6時，V（x）取得最大值；
（3）過F作MF∥AC交AD與M，
則，
PM=，，
在△PFM中，，
∴異面直線AC與PF所成角的余弦值為．
分析：（1）先求底面面積，再求出高，即可求V（x）的表達式；
（2）利用導數(shù)，來求V（x）的最大值，
（3）過F作MF∥AC交AD于M，得到異面直線所成的角，然后求異面直線AC與PF所成角的余弦值．
點評：本題考查幾何體的體積，導數(shù)的應用，異面直線所成的角，考查空間想象能力、邏輯思維能力，是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（坐標系與參數(shù)方程選做題）在極坐標系中，定點A（2，π），動點B在直線ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
上運動，則線段AB的最精英家教網(wǎng)短長度為
 

（不等式選講選做題）設函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|，則f（x）的最小值為
 

（幾何證明選講選做題） 如圖所示，等腰三角形ABC的底邊AC長為6，其外接圓的半徑長為5，則三角形ABC的面積是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，等腰△ABC的底邊AB=6
6
，高CD=3，點E是線段BD上異于點B、D的動點，點F在BC邊上，且EF⊥AB，現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，記BE=x，V（x）表示四棱柱P-ACFE的體積．
（1）求證：面PEF⊥面ACFE；
（2）求V（x）的表達式，并求當x為何值時V（x）取得最大值？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，等腰△ABC的底邊AB=6
6
，高CD=3，點E是線段BD上異于點B，D的動點，點F在BC邊上，且EF⊥AB，現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AC，記BE=x，V（x）表示四棱錐P-ACFE的體積．
（1）求V（x）的表達式；
（2）當x為何值時，V（x）取得最大值？
（3）當V（x）取得最大值時，求異面直線AC與PF所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆福建師大附中高二下學期期中理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

(本小題滿分12分) 如圖所示，等腰△ABC的底邊AB=,高CD=3，點E是線段BD上異于點B、D的動點.點F在BC邊上，且EF⊥AB.現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.記BE＝x，V(x)表示四棱錐P-ACFE的體積.

（Ⅰ）求V(x)的表達式；   

（Ⅱ）當x為何值時，V(x)取得最大值？

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年陜西省高三第三次月考理科數(shù)學（重點班）（解析版） 題型：解答題

如圖所示，等腰△ABC的底邊AB=6,高CD=3，點E是線段BD上異于點B、D的動點.點F在BC邊上，且EF⊥AB.現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.記,用表示四棱錐P-ACFE的體積.

（Ⅰ）求 的表達式；

（Ⅱ）當x為何值時,取得最大值？

(Ⅲ）當V(x)取得最大值時，求異面直線AC與PF所成角的余弦值

 

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