Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），不等式f（x）＜-2x的解集為{x|-3＜x＜-1}．若函數(shù)g（x）=f（x）+6a和x軸只有一個交點．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當x∈[

5

2

，5]時，求函數(shù)y=f（x）的最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用一元二次不等式與二次函數(shù)以及一元二次方程的關(guān)系得到系數(shù)的等式解之；
（2）由（1）可知二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，然后求最小值．

解答： 解：（1）∵不等式f（x）＜-2x的解集為{x|-3＜x＜-1}．
∴ax²+（b+2）x+c=0的兩個根是-3和-1，并且a＞0，
∴9a-3（b+2）+c=0，①；a-（b+2）+c=0，②
又∵函數(shù)g（x）=f（x）+6a和x軸只有一個交點，
∴△=b²-4a（c+6a）=0③
由①②③解得a=

1

5

，b=-

4

5

，c=

3

5

，
∴f（x）=

1

5

x²-

4

5

x+

3

5

；
（2）由（1）得f（x）=

1

5

x²-

4

5

x+

3

5

=

1

5

（x-2）²-

1

5

；
∴當x∈[

5

2

，5]時，函數(shù)為增函數(shù)，∴函數(shù)y=f（x）的最小值為f（2）=-

1

5

．

點評：本題考查了“三個二次”之間的關(guān)系以及二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值求法，注意明確對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，從而明確區(qū)間的單調(diào)性．