(12分)(1)設(shè)x、y、zR,且x+y+z=1,求證x2+y2+z2≥;
(2)設(shè)二次函數(shù)f (x)=ax2+bx+c (a>0),方程f (x)-x=0有兩個(gè)實(shí)根x1,x2,
且滿足:0<x1<x2<,若x(0,x1)。
求證:x<f (x)<x1
見解析。
【解析】本試題主要是考查了均值不等式的運(yùn)用以及二次函數(shù)中根與系數(shù)的關(guān)系的綜合運(yùn)用。
(1)x+y+z=1,∴1=(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz
≤3(x2+y2+z2)
從而得證。
(2)令F(x)=f(x)-x,x1,x2是f(x)-x=0的根,
∴F(x)=a(x-x1)(x-x2)
∵0<x<x1<x2< ∴x-x1<0,x-x2<0 a>0
∴F(x)>0 即x<f (x)
x1-f (x)=x1-[x+F(x)]=x1-x-a(x-x1)(x-x2)=(x1-x)[1+a(x-x2)]
∵0<x<x1<x2<
∴x1-x>0 1+a(x-x2)=1+a x-ax2>1-ax2>0
∴x1-f(x)>0 ∴f(x)<x1
綜上可知成立。
解:(1)∵x+y+z=1,∴1=(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz
≤3(x2+y2+z2)
∴x2+y2+z2≥
(2)令F(x)=f(x)-x,x1,x2是f(x)-x=0的根,
∴F(x)=a(x-x1)(x-x2)
∵0<x<x1<x2< ∴x-x1<0,x-x2<0 a>0
∴F(x)>0 即x<f (x)
另一方面:x1-f (x)=x1-[x+F(x)]=x1-x-a(x-x1)(x-x2)=(x1-x)[1+a(x-x2)]
∵0<x<x1<x2<
∴x1-x>0 1+a(x-x2)=1+a x-ax2>1-ax2>0
∴x1-f(x)>0 ∴f(x)<x1
綜上可得:x<f(x)<x1
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com