Question

已知當橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b時，橢圓的面積是πab．請針對橢圓

x2

25

+

y2

16

=1，求解下列問題：
（1）若m，n是實數，且|m|≤5，|n|≤4．求點P（m，n）落在橢圓內的概率以及點P落在橢圓上的概率．
（2）若m，n是整數，且|m|≤5，|n|≤4．求點P（m，n）落在橢圓外的概率以及點P落在橢圓上的概率．

Answer 1

分析：（1）當m，n是實數，屬于幾何概型，求出|m|≤5，|n|≤4時，所有形如（m，n）的點覆蓋的圖形的面積，橢圓圍成的區(qū)域的面積，就可求得點P（m，n）落在橢圓內的概率；
（2）當m，n是整數，屬于古典概型，求出|m|≤5，|n|≤4時，點P（m，n）的個數，落在橢圓上點的個數，即可求得點P（m，n）落在橢圓上的概率；當m＞0，n＞0時，共有4×9=36個點在橢圓外，故可求點P（m，n）落在橢圓外的概率．

解答：解：（1）當m，n是實數，且|m|≤5，|n|≤4時，所有形如（m，n）的點覆蓋的圖形的面積是80．                                                      
橢圓圍成的區(qū)域在其內部，且面積為20π．                         
故點P（m，n）落在橢圓內的概率為

20π

80

=

π

4

                         
由于橢圓是條曲線，線上點所占面積為0，故點P（m，n）落在橢圓上的概率為0．  
（2）當m，n是整數，且|m|≤5，|n|≤4時．點P（m，n）共有11×9=99個
其中點（0，4），（0，-4），（5，0），（-5，0）四點落在橢圓上．
故點P（m，n）落在橢圓上的概率為

4

99

．                                     
當m＞0，n＞0時，點（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（4，3）（4，4），（3，4），（2，4）（1，4）共9點在橢圓外．
由對稱性知，當m，n是整數，且|m|≤5，|n|≤4時，共有4×9=36個點在橢圓外．    
故點P（m，n）落在橢圓外的概率是

36

99

=

12

33

．

點評：本題考查幾何概型與古典概型，區(qū)分的關鍵是基本事件的有限性與無限性，屬于中檔題．