Question

11．已知函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，在區(qū)間（-∞，0）單調(diào)遞增且f（-1）=0．若實(shí)數(shù)a滿足$f（{log_2}a）-f（{log_{\frac{1}{2}}}a）≤2f（1）$，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [1，2]
• B． $（-∞，\frac{1}{2}]∪（1，2]$
• C． （0，2]
• D． $（0，\frac{1}{2}]∪（1，2]$

Answer 1

分析 根據(jù)條件可得到f（1）=f（-1）=0，$f（lo{g}_{\frac{1}{2}}a）=-f（lo{g}_{2}a）$，從而由$f（lo{g}_{2}a）-f（lo{g}_{\frac{1}{2}}a）≤2f（1）$可以得到f（log₂a）≤0，而由條件知，f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上都為增函數(shù)，從而需討論a：a＞1時(shí)，可得到f（log₂a）≤f（1），進(jìn)而得到log₂a≤1，這樣即可得出1＜a≤2，同樣的方法，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，又可以求得一個(gè)a的范圍，這兩個(gè)a的范圍求并集便可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：f（x）為奇函數(shù)；
∴f（1）=-f（-1）=0，且$f（lo{g}_{\frac{1}{2}}a）=f（-lo{g}_{2}a）=-f（lo{g}_{2}a）$；
∴由$f（lo{g}_{2}a）-f（lo{g}_{\frac{1}{2}}a）≤2f（1）$得，2f（log₂a）≤0；
∴f（log₂a）≤0；
①若a＞1，log₂a＞0，根據(jù)題意f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
∴由f（log₂a）≤0得，f（log₂a）≤f（1）；
∴l(xiāng)og₂a≤1；
∴1＜a≤2；
②若0＜a＜1，log₂a＜0，f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增；
∴由f（log₂a）≤0得，f（log₂a）≤f（-1）；
∴l(xiāng)og₂a≤-1；
∴$0＜a≤\frac{1}{2}$；
∴綜上得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（0，\frac{1}{2}]∪（1，2]$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性特點(diǎn)，對數(shù)的換底公式，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及增函數(shù)的定義．