Question

【題目】設函數(shù)f（x）=mlnx（m∈R），g（x）=cosx．
（1）若函數(shù) 在（1，+∞）上單調遞增，求m的取值范圍；
（2）設函數(shù)φ（x）=f（x）+g（x），若對任意的 ，都有φ（x）≥0，求m的取值范圍；
（3）設m＞0，點P（x0 ， y0）是函數(shù)f（x）與g（x）的一個交點，且函數(shù)f（x）與g（x）在點P處的切線互相垂直，求證：存在唯一的x0滿足題意，且 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，知 ，所以 ．

由題意， ，即 對x∈（1，+∞）恒成立．

又當x∈（1，+∞）時， ，所以m≥1

（2）解：因為φ（x）=f（x）+g（x）=mlnx+cosx，所以 ．

①當m≤0時，因為 ，所以lnx＞0，cosx＜0，故φ（x）＜0，不合題意．

②當m＞0時，因為 ，所以φ'（x）＞0，故φ（x）在 上單調遞增．

欲φ（x）≥0對任意的 都成立，則需φ（π）≥0，所以mlnπ+cosπ≥0，解得 ．

綜上所述，m的取值范圍是

（3）解：證明：因為 ，g'（x）=﹣sinx，且函數(shù)f（x）與g（x）在點P（x0，y0）處的切線互相垂直，

所以 ，即msinx0=x0（*）．

又點P（x0，y0）是函數(shù)f（x）與g（x）的一個交點，所以mlnx0=cosx0（**）．

由（*）（**）消去m，得x0lnx0﹣sinx0cosx0=0．

①當x0∈（0，1]時，因為m＞0，所以mlnx0≤0，且cosx0＞0，此與（**）式矛盾．

所以在（0，1]上沒有x0適合題意

②當x0∈（1，+∞）時，設r（x）=xlnx﹣sinxcosx，x∈（1，+∞）．

則r'（x）=lnx+1﹣cos2x＞0，即函數(shù)r（x）在（1，+∞）上單調遞增，

所以函數(shù)r（x）在（1，+∞）上至多有一個零點．

因為r（1）=ln1﹣sin1cos1=﹣sin1cos1＜0， ，

且r（x）的圖象在（1，+∞）上不間斷，所以函數(shù)r（x）在 有唯一零點．

即只有唯一的x0∈（1，+∞），使得x0lnx0﹣sinx0cosx0=0成立，且 ．

綜上所述，存在唯一的x0∈（0，+∞），且

【解析】（1）根據求導研究函數(shù)的單調性令 h ' ( x ) ≥ 0，即得m的取值范圍 。（2）利用求導函數(shù)討論導函數(shù)正負進而得到函數(shù)的單調性。（3）利用求導函數(shù)以及函數(shù)f（x）與g（x）在點P處的切線互相垂直，得到msinx0=x0；又點P（x0，y0）是函數(shù)f（x）與g（x）的一個交點，得到mlnx0=cosx0，進而得到x0lnx0﹣sinx0cosx0=0．對x0分情況討論，當x0∈（0，1]時，在（0，1]上沒有x0適合題意。當x0∈（1，+∞）時函數(shù)r（x）在（1，+∞）上至多有一個零點，再根據零點定理可得，函數(shù)r（x）有唯一零點，即得結果。
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．